| Project/Area Number |
21K03224
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
坂根 由昌 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (00089872)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥2,860,000 (Direct Cost: ¥2,200,000、Indirect Cost: ¥660,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | 不変なアインシュタイン計量 / コンパクト等質空間 / リッチテンソル / 旗多様体 / コンパクト単純リー群 / Einstein-like metrics / グレブナー基底 / 一般化された旗多様体 / アインシュタイン計量 / コンパクトリー群 / リッチ曲率 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究の目的は、コンパクト等質空間上の不変なアインシュタイン計量の存在、または、非存在を研究することである。
これまでの多くの研究は、等方部分群による接空間の既約分解が互いに同値でないという条件をみたす場合になされた。この場合には、アインシュタイン計量になる条件は、リッチテンソルの対角成分が等しいという条件になる。既約分解が同値な表現を含む場合は、等質空間上のアインシュタイン計量の存在に、リッチテンソルの対角成分以外は0になるという条件が必要となる。 本研究の目的は、等方部分群の様子により、不変なアインシュタイン計量の存在・非存在が示せるようなコンパクト等質空間の例を構成することである。
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| Outline of Annual Research Achievements |
コンパクト等質空間上の不変なアインシュタイン計量の存在・非存在に関して次の研究を行った。
１ 前年までに得られていた、特殊ユニタリー群 SU(N) (N > ５) 上に、新しいnaturally reductiveでない左不変アインシュタイン計量が存在についてプレプリントにまとめた。すなわち、2020年に、Arvanitoyeorgos、Statha と研究代表者により、特殊ユニタリー群 SU(k＋m＋n) (k > 1, m > 1, n > 0)上にnaturally reductive でないAd(S(U(k)xU(m)xU(n))-不変なアインシュタイン計量が存在することを示したが、この結果の一部を拡張し、コンパクトリー群 SU(m+ k(p-1))上に新しい不変なアインシュタイン計量の存在することを示した。また、得られた左不変アインシュタイン計量が等長となるかを研究した。
２ アインシュタイン計量の存在・非存在については、2005年のBohm の結果に関連して、SO(N)、Sp(N) のあるコンパクト等質空間系列上に、等方部分群の状況により不変なアインシュタイン計量の存在しない場合、存在する場合があることの例を構成した。これらは、1997年にParkと研究代表者により構成した例の拡張になっている。さらに新しい例を構成できるかを試みたがかなり困難であることが分かった。
３ A. Grayは1978年にアインシュタイン計量の条件を弱めたもの、リッチテンソルがリッチテンソルが平行よりも弱い条件の持つ計量を提案している。いくつかのコンパクト等質空間上に、このような性質を持つ不変な計量が存在するかどうかを調べ、これらの不変な計量は常にアインシュタイン計量であることを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
1 コンパクト単純リー群上のアインシュタイン計量の存在問題については、特殊ユニタリー群 SU(N) (N > ５) 上に新しい不変なアインシュタイン計量を構成できたことにより古典型のコンパクト単純リー群上ついては一息つけたと思う。しかしながら、例外単純リー群上については、まだいくつかの問題が残されている。
2 コンパクト等質空間上の不変なアインシュタイン計量の非存在にについては、Bohmの結果の部分的な拡張条件を得ることができた。これにより不変なアインシュタイン計量の存在しないコンパクト等質空間を構成できた。これは1997年にParkと研究代表者により得られていたコンパクト等質空間の例を拡張したものである。これらの例については等方部分群の状況により不変なアインシュタイン計量の存在を示すこともできた。さらに多くの等質空間にこのような非存在条件が適用できないかを考察しているがうまい例が見つかっていない。
3 A. Grayにより提唱されアインシュタイン計量の条件を弱めた条件、アインシュタイン-like B-計量をもつコンパクト等質空間に関して、旗多様体で第２ベッチ数が２以下のもので既約成分が６以下のものは、常にアインシュタイン計量となりことが分かった。この結果をまとめてICDG2023のプロシーディングに発表予定である。さらに、上記の不変なアインシュタイン計量の存在しないコンパクト等質空間には、B-計量も存在しないことが分かった。
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| Strategy for Future Research Activity |
１ 前年度に提唱した問題「コンパクト等質空間上の不変なアインシュタイン計量の存在については、これまでの多くの研究は、等質空間の等方部分群による既約成分が同値でない場合であったが、同値な成分を持つ場合を考察する。」について考察する。特に、コンパクト単純リー群上に、新しいアインシュタイン計量が存在するかを、一般化された旗多様体で、第２ベッチ数が２以上ものから定まる単純リー群の不変計量の中で考察する。これには旗多様体のリッチテンソルを決める必要があるが、例外リー群から定まる旗多様体で第２ベッチ数が２以下のものは、旗多様体の等方部分群による既約分解がGraevにより研究されているので、これを用いての旗多様体のリッチテンソルをまず決定する。これを用いてコンパクト例外リー群上の新しい不変なアインシュタイン計量の存在を示す。
２ A. Grayにより提唱されたアインシュタイン-like B-計量をもつときB-計量はアインシュタイン計量となるかという問題を考察する。これらの旗多様体上の不変な計量でアインシュタイン-like B-計量がどの位あるかを考察するとき、上記のリッチテンソルの決定が役に立つと思われる。
３ 引き続き、コンパクト等質空間上の不変なアインシュタイン計量の非存在についても、判定条件および例の存在を研究する。
また、これまでに得られた結果をシンポジウムや学会で発表し、プレプリントにして雑誌に投稿する。
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