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Differential geometry of surfaces with Weierstrass-type representaion formulae

Research Project

Project/Area Number 21K03226
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

Allocation TypeMulti-year Fund
Section一般
Review Section Basic Section 11020:Geometry-related
Research InstitutionHiroshima University

Principal Investigator

藤森 祥一  広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 教授 (00452706)

Project Period (FY) 2021-04-01 – 2025-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Keywords極小曲面 / 極大曲面 / ワイエルシュトラス型表現公式 / 解析的延長 / 特異点 / 回転不変 / 平均曲率0曲面
Outline of Research at the Start

本研究では、ワイエルシュトラス型表現公式をもつ曲面の族の構成方法や特異点の振る舞い、ならびにある種の特異点から生じる曲面の解析的拡張性を、主に微分幾何学的手法を用いて解析する。
ワイエルシュトラス型表現公式として、特に3次元Euclid空間内の極小曲面、3次元Minkowski空間内の空間的極大曲面や平均曲率0曲面、および3次元de Sitter空間内の空間的平均曲率1曲面を考察の対象とする。
これらの曲面が共有する性質や、1 部の曲面のみがもつ特別な性質を解明することが本研究の目的である。

Outline of Annual Research Achievements

ワイエルシュトラス型表現公式をもつ曲面、特に3次元ユークリッド空間の極小曲面および3次元ミンコフスキー空間の極大曲面の微分幾何学的性質に関する研究及びそれらに関連する研究を行った。具体的には以下の3つの研究を行った。
Peter Connor氏 (インディアナ大学)との共同研究で、3次元ユークリッド空間の周期的極小曲面の族の構成に関する研究を行なった。ある3重周期的極小曲面の2径数族を構成し、その極限として2種類の2重周期的極小曲面の1径数族が得られることを考察し、さらにこの2種類の2重周期的極小曲面の族の極限として、1種類の単周期的な極小曲面が得られることを考察した。現時点では数値計算を用いてこれらの曲面の存在を確認しているが、Traizet氏らが開発した方法を用いてこれらの曲面の存在を数学的に証明できるか検討中である。
川上裕氏(金沢大学)、國分雅敏氏(東京電機大学)、Wayne Rossman氏(神戸大学)、梅原雅顕氏(東京工業大学)、山田光太郎氏(東京工業大学)、Seong-Deog Yang氏 (高麗大学校)との共同研究で、曲面の解析的延長に関する研究を行った。特に弧状固有写像と解析的完備性に関する性質について議論を行った。本研究は現在も研究中である。
川上裕氏(金沢大学)、國分雅敏氏(東京電機大学) との共同研究で、ガウス曲率が回転不変となる曲面の研究を行った。エネパー曲面は回転面ではないが計量 (第1基本形式) が回転不変である。このように計量が回転不変な曲面は回転面の一般化と捉えることができる。これをさらに一般化して、ガウス曲率が回転不変な曲面について考察した (計量が回転不変ならばガウス曲率も回転不変であるが、逆は一般に成り立たない)。いくつかの仮定のもとでこのような曲面の分類に成功したので、論文を執筆した。この論文は現在投稿中である。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

周期的極小曲面の研究に関しては、計算機を援用することで多くの新しい例を考察できたが、数学的な証明を得るためにはTraizet氏らによる理論を応用する必要があると思われる。彼らの理論は実解析的な理論の他に組合せ論なども用いており非常に難解で、我々の曲面の存在を証明するためにはまだ時間がかかると思われる。
曲面の解析的延長に関しては、理論が徐々に整備されてきており、研究は順調に進展している。
ガウス曲率が回転不変な曲面に関しては、ある種の条件のもとではあるが、既に論文を投稿することができたので、研究は当初の計画以上に進展している。
以上のことを総合的に判断すると、研究は概ね順調に進展しているといえる。

Strategy for Future Research Activity

周期的極小曲面の研究に関しては、様々は実験等を通してTraizet氏らによる理論を深く理解し、我々の例に適用することを試みる。そのためにPeter Connor氏のいるインディアナ大学に出張し、直接会って議論を行う予定である。
曲面の解析的延長に関する研究については、理論をさらに整備して論文の完成を目指す。理論が大掛かりになるとともに、論文も長くなってきているので、論文に齟齬がないか入念に確認する。そのために共同研究者がいる東京、金沢、神戸、韓国に出張し、直接会って議論を行う予定である。
ガウス曲率が回転不変な曲面に関しては、今回論文執筆のためにつけた条件を外した場合について考察を進める。

Report

(3 results)
  • 2023 Research-status Report
  • 2022 Research-status Report
  • 2021 Research-status Report
  • Research Products

    (15 results)

All 2023 2022 Other

All Int'l Joint Research (6 results) Journal Article (3 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Peer Reviewed: 3 results,  Open Access: 3 results) Presentation (5 results) (of which Int'l Joint Research: 4 results,  Invited: 4 results) Remarks (1 results)

  • [Int'l Joint Research] Indiana University South Bend(米国)

    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Int'l Joint Research] Korea University(韓国)

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  • [Int'l Joint Research] Indiana University South Bend(米国)

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      2022 Research-status Report
  • [Int'l Joint Research] Korea University(韓国)

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  • [Int'l Joint Research] Indiana University South Bend/University of Notre Dame(米国)

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  • [Int'l Joint Research] Korea University(韓国)

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      2021 Research-status Report
  • [Journal Article] Higher genus nonorientable maximal surfaces in the Lorentz-Minkowski 3-space2023

    • Author(s)
      Fujimori Shoichi and Kaneda Shin
    • Journal Title

      Tohoku Mathematical Journal

      Volume: 75 Issue: 1 Pages: 1-14

    • DOI

      10.2748/tmj.20210907b

    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Analytic extensions of constant mean curvature one geometric catenoids in de Sitter 3-space2022

    • Author(s)
      Shoichi Fujimori, Yu Kawakami, Masatoshi Kokubu, Wayne Rossman, Masaaki Umehara, Kotaro Yamada and Seong-Deog Yang
    • Journal Title

      Differential Geometry and Its Applications

      Volume: 84 Pages: 101924-101924

    • DOI

      10.1016/j.difgeo.2022.101924

    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Higher genus nonorientable maximal surfaces in the Lorentz-Minkowski 3-space2022

    • Author(s)
      Shoichi Fujimori and Shin Kaneda
    • Journal Title

      Tohoku Mathematical Journal

      Volume: -

    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Presentation] Nonorientable maximal surfaces with one end in the Lorentz-Minkowski 3-space2023

    • Author(s)
      Shoichi Fujimori
    • Organizer
      The 3rd Conference on Surfaces, Analysis, and Numerics
    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Genus three embedded doubly periodic minimal surfaces with parallel ends2022

    • Author(s)
      Shoichi Fujimori
    • Organizer
      RIMS Workshop (Type A) Applications of Harmonic Maps and Higgs Bundles to Differential Geometry
    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Examples of minimal surfaces in Euclidean 3-space2022

    • Author(s)
      Shoichi Fujimori
    • Organizer
      Discussion meeting on zero mean curvature surfaces in the Lorentz-Minkowski space and related areas
    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Higher genus nonorientable maximal surfaces in the Lorentz-Minkowski 3-space2022

    • Author(s)
      Shoichi Fujimori
    • Organizer
      The 7th Japan-China Geometry Conference
    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 高種数の向き付け不可能な極大曲面について2022

    • Author(s)
      藤森祥一, 金田伸
    • Organizer
      日本数学会年会
    • Related Report
      2021 Research-status Report
  • [Remarks] 藤森祥一のウェブページ

    • URL

      https://home.hiroshima-u.ac.jp/fujimori/index-j.html

    • Related Report
      2023 Research-status Report 2022 Research-status Report 2021 Research-status Report

URL: 

Published: 2021-04-28   Modified: 2024-12-25  

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