Differential geometry of surfaces with Weierstrass-type representaion formulae
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21K03226
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
藤森 祥一 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 教授 (00452706)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
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| Keywords | 極小曲面 / 極大曲面 / ワイエルシュトラス型表現公式 / 解析的延長 / 特異点 / 平均曲率0曲面 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究では、ワイエルシュトラス型表現公式をもつ曲面の族の構成方法や特異点の振る舞い、ならびにある種の特異点から生じる曲面の解析的拡張性を、主に微分幾何学的手法を用いて解析する。
ワイエルシュトラス型表現公式として、特に3次元Euclid空間内の極小曲面、3次元Minkowski空間内の空間的極大曲面や平均曲率0曲面、および3次元de Sitter空間内の空間的平均曲率1曲面を考察の対象とする。
これらの曲面が共有する性質や、1 部の曲面のみがもつ特別な性質を解明することが本研究の目的である。
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| Outline of Annual Research Achievements |
ワイエルシュトラス型表現公式をもつ曲面、特に3次元ユークリッド空間の極小曲面および3次元ミンコフスキー空間の極大曲面の微分幾何学的性質に関する研究を行った。具体的には以下の3つの研究を行った。
金田伸氏(広島大学)との共同研究で、3次元ミンコフスキー空間の向き付け不可能な極大曲面の構成に関する研究を行った。以前構成した、任意の種数かつ1つのエンドをもつ向き付け不可能な極大曲面の一意性について考察を行った。曲面の対称性にある種の仮定をおくと一意性が成り立つと予想されるが、現時点では証明はできていない。この結果については引き続き研究継続中である。
Peter Connor氏(インディアナ大学)、との共同研究で、3次元ユークリッド空間の周期的極小曲面の族の構成に関する研究を行なった。4つの垂直エンドおよび2n個の水平エンドを持つ曲面の1径数族を構成し、この1係数族の極限や、この1径数族を極限とする二重周期的極小曲面の族についても考察を行った。この結果について論文を執筆中である。
川上裕氏(金沢大学)、國分雅敏氏(東京電機大学)、Wayne Rossman氏(神戸大学)、梅原雅顕氏(東京工業大学)、山田光太郎氏(東京工業大学)、Seong-Deog Yang氏 (高麗大学校)との共同研究で、曲面の解析的延長に関する研究を行った。特に3次元ド・ジッター空間の平均曲率1曲面の解析的延長について考察した。ド・ジッ ター空間の平均曲率1曲面は、局所的には3次元ミンコフスキー空間の極大曲面と等長対応することが知られているが、大域的な性質は大きく異なる。この平均曲率1曲面の解析的延長の有無を解明するために、一般論の展開と具体例の計算の両面から研究を行った。この結果について論文を執筆し、掲載された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
向き付け不可能な極大曲面の一意性の研究に関しては、まだ解明できていない点もあり、さらなる研究が必要である。
周期的極小曲面の研究に関しては、極限や対称性等、予想以上の進展があった。また、研究集会でこのことについて発表を行った際、専門家から有益な助言を得ることもでき、研究は当初の計画以上に進展している。
曲面の解析的延長に関しては、具体例の計算や解析的延長性の判定は当初の計画以上に進展しているが、一般論の確立についてはさらなる議論が必要である。 以上のことを総合的に判断すると、研究は概ね順調に進展しているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
向き付け不可能な極大曲面の研究に関しては、曲面の群作用と等長変形について詳しく考察することで、一意性の証明を完成させたい。
周期的極小曲面の研究に関しては、論文を完成させたい。また、楕円関数についての見識を深めることで、類似の曲面の周期問題の解決も試みたい。
曲面の解析的延長に関しては、より多くの具体例を通して、一般論確立の手がかりを得たい。
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Report
(2 results)
Research Products
(13 results)
