Study on the double variational principle for mean dimension of dynamical systems
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21K03227
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Kyoto University (2022)
Kyushu University (2021) |
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Principal Investigator |
塚本 真輝 京都大学, 理学研究科, 教授 (70527879)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
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| Keywords | 力学系 / エルゴード理論 / 幾何学的測度論 / 平均次元 / エントロピー / 情報理論 |
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| Outline of Research at the Start |
「力学系」とは「時系列データ」の集まりである．このデータ達が単位時間あたりにもつ自由度を「平均次元」と呼ぶ．ところで，「時系列データ」の上に確率構造を考えて，情報理論的にそれを研究することも考えられる．「二重変分原理」とは，データが持つ自由度（平均次元）と，データの情報理論的構造との密接な関連を研究するためのアイデアである．
この研究計画では，このアイデアをできるだけ一般の力学系に対して適用できるように整備するとともに，伝統的な数学のなかから自然に出てきた力学系（時系列データ）にアイデアを適用して時に，具体的になにが見えるかを探求する．
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| Outline of Annual Research Achievements |
２０２２年度には，大まかには三つの成果が得られた．以下順番に説明する．
（１）平均次元に関する基本的な問題として，「古典次元論で知られていたフレヴィッツの定理という主張の類似が平均次元に対して成立するか？」というものがあった．この問題は１０年以上前に私自身が提案したものである．今年度，この問題を完全に解決することができた．答えは「一般にはフレヴィッツの定理の類似は平均次元に対して不成立だが，ベースの力学系がゼロ平均次元なら，成立する」というものであった．この成果はすでに論文にまとめて，学術誌に投稿中である．
（２）本研究課題は平均次元に対する変分原理の発展に関するものであるが，その重要な側面として，幾何学的測度論のアイデアを平均次元理論と融合するというものがある．その方向性の研究として，古典的なフラクタル幾何学で知られている定理の平均次元理論版を構成するという研究を行った．例えば，フルステンベルグによる円周内の等質フラクタルに関する定理の平均次元理論版を証明した．この研究についても，すでに論文にまとめて，学術誌に投稿中である．
（３）上記の（１）の研究によってフレヴィッツの定理の類似が平均次元に対して，そのままでは成立しないことが分かった．この状況は興味深いことではあるが，一方で大きな困難を感じさせるものでもある．そこで，困難を克服するために，「ウエスト不等式」という新しい視点からこの問題に取り組んだ．グロモフやクラ―タッグによって発展させられてきたウエスト不等式の理論を平均次元理論に応用した．これよって，リンデンシュトラウスとヴァイスによって証明された有名な定理を本質的に改良する成果を得た．この成果も論文にまとめて，学術誌に投稿中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
２０２２年度だけで論文を３本も執筆することができた．数学の研究として，一年間で３本の論文執筆は順調という以上のスピードだと考えられる．またその三つの論文の内容も，どれも独自性が非常に高いものになったと自負している．また論文にまとめるまでには至っていないが，本研究課題の最大の目的である正則曲線の力学系に関する研究も順調に進んでおり，ゴールに近づいていると認識している．以上の理由より，「おおむね順調に進展している」と考える．
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| Strategy for Future Research Activity |
上記でも記したように，本研究課題の最大の目的は，正則曲線のなす力学系の平均次元を二重変分原理の観点から研究することである．この方向性に関して，二重変分原理の一般論を連続パラメータ作用（正確には，多次元ユークリッド空間の作用）に拡張する研究が現在進展中であり，これの可能な限り早期の完成を目指したい．主な困難は，パラメータ空間が連続的になることから，確率論的な扱いが技術的により複雑になるという点であるが，問題点を克服する方法はすでに理解できたと考えている．
連続パラメータ作用に対する二重変分原理の一般論が出来上がれば，その後はいよいよ正則曲線のなす力学系に二重変分原理を適用する研究を開始する．どのような結果が得られるべきかはすでに予想できており，その完全な証明をできるだけ早く目指したい．
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Report
(2 results)
Research Products
(6 results)
