| Project/Area Number |
21K03229
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
久本 智之 東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (00748345)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
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| Keywords | ファノ多様体 / ケーラー・アインシュタイン計量 / 安定性 / モンジュ・アンペール方程式 / 代数多様体 |
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| Outline of Research at the Start |
(1)Kahler-Einstein計量の量子化を有限次元近似によって理解する
エネルギー汎関数によって定義される分配関数を近似的に計算することにより、Kahler-Einstein計量や定スカラー曲率Kahler計量の量子化を与える。
(2)Fano多様体に対しKahler-Ricci流に代表される非線形放物型偏微分方程式の対応物: 最適退化を構成する
最適退化とは、Fano多様体を適切な方向に退化させることでK安定にするというものである。乗数イデアル層を用いた複素解析的なアプローチによって最適退化を構成する研究を行う。
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| Outline of Annual Research Achievements |
Kahler-Einstein 計量と呼ばれる標準的なKahler計量と代数多様体の安定性との関係は重要な問題である。現在は幾何学的フローや幾何学的量子化の視点からこれらの問題にアプローチしている。
今年度の前半では、ベクトル束のHermite自己準同型に対し定義されるDonaldson汎関数に関する研究を行った。Donaldson汎関数を滑らかでない自己準同型まで拡張したとき、その最小点がHermite-Einstein計量を与えるかは明らかでない。しかし、もし最小点が自動的に滑らかになるのであれば、最小点の存在とDonaldson汎関数の強凸性が同値であることが示せた。このアイデアはKahler-Einstein計量に対するDarvas-Rubinsteinのアイデアに基づいており、Kahler-Einstein計量の研究に用いられたアイデアが様々な対象に適用できることを示している。
今年度の後半では、Kahler-Ricci流とその代数幾何学的な対応物である最適退化について、いわゆる「幾何学的量子化」を用いてこれらを漸近的に構成する研究を行った。Kahler計量全体が成す無限次元空間は、大域切断に対するHermite内積全体が成す有限次元空間でよく近似できることが知られている。Kahler-Ricci流は前者の空間上の曲線と見なせ、エントロピー汎関数を減らす方向に流れていく。我々は後者の空間におけるKahler-Ricci流やエントロピー汎関数の対応物を定義し、それが類似の性質を満たすことを観察した。また、これらの対象の代数的な対応物として、同じ大域切断に対する非アルキメデス的な計量であってしかるべき汎関数を最小化するものを考察した。これは最適退化の有限次元における対応物と見なせる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
Donaldson汎関数に関する研究は一定の成果があったが、同年にJonsson, Mccleerey, Shivaprasadらがより決定的な結果を得た。
Kahler-Ricci流および最適退化の幾何学的量子化については期待していた対応物を見出せたが、該当する研究論文をまだ発表できていない。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は最適退化の幾何学的量子化についてさらに研究を進める。特に、幾何学的量子化の観点から得られた有限次元版の最適退化が元の最適退化を近似しているかどうかに興味がある。一方で、有限次元におけるエントロピー汎関数の対応物が導入できたので、これを用いてKahler計量の空間の幾何学の有限次元類似を詳細に調べてゆく。特に、申請書で述べたような分配関数に纏わる計算を計画している。
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Report
(2 results)
Research Products
(6 results)
