| Project/Area Number |
21K03235
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
宇田川 誠一 日本大学, 医学部, 教授 (70193878)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000)
Fiscal Year 2024: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2023: ¥390,000 (Direct Cost: ¥300,000、Indirect Cost: ¥90,000)
Fiscal Year 2022: ¥390,000 (Direct Cost: ¥300,000、Indirect Cost: ¥90,000)
Fiscal Year 2021: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
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| Keywords | sine-Gordon方程式 / 半離散的sine-Gordon方程式 / 離散的sine-Gordon方程式 / 楕円関数解 / リーマン・テータ関数 / ワイエルシュトラス・ペー関数 / サイン・ゴルドン方程式 / ハイパボリック・サイン・ゴルドン方程式 / アンチ・ド・ジッター空間 / 平均曲率一定曲面 / semi-discrete版 / discrete版 |
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| Outline of Research at the Start |
Linkage機構の代表的な例として Kaleidcycleと呼ばれる運動がある。運動を記述する方程式は sine-Gordon方程式の半離散化された方程式である。sine-Gordon方程式のより一般的に離散化された方程式は広田良吾氏が導入した差分方程式である。Kaleidcycleは周期的な運動なので楕円関数などの周期関数で解が書ける。各頂点がどのような軌跡でうごくかは座標表示することにより理解が可能となる。この研究では、その座標表示を求めて、Kaledcycleだけでなく対象をより広い範囲に広げられることを示す。
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究課題に関して、sine-Gordon方程式の楕円関数解を参考にして、半離散的sine-Gordon方程式および離散的sine-Gordon方程式の楕円関数解を見つけて、それらの解を Bobenko-Pinkall流にリーマン・テータ関数を用いて表示することに成功した。方法は sine-Gordon方程式に付随した楕円曲線を書き下し、それから得られる３次方程式の３つの解を実現するワイエルシュトラス・ペー関数を具体的に求めた。それにより２重周期が具体的に求められて、リーマン周期行列が求められるので、リーマン・テータ関数がきちんと定義できた。
周期をずらした２つのリーマン・テータ関数の商によりiexp(iw/2)を表せることがわかった。ここに、w は sine-Gordon 方程式の解である。これは、半離散的、離散的な sine-Gordon方程式についても同様な形で書けることもわかった。以上のことは、まとめて大学の紀要論文（日本大学医学部一般教育研究紀要第50号, 2022年12月発行）で発表した。また、この成果を2回ほど招待講演を行った。１回目は九州大学フォアマスインダストリ研究所において開催されたミニワークショップで「sine-Gordon方程式の解法と離散化」というタイトルで講演を行った(http://ed3ge.imi.kyushu-u.ac.jp/event/MiniWorkshop_202302/HP_20230216.html)。２回目は大阪公立大学で行われた国際研究集会で「Solving the sine-Gordon equation and its discretization」というタイトルで講演した（https://www-math.ias.tokushima-u.ac.jp/~yasumoto/msjsi13th3rd20230303/）。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究目的のカライドサイクルのモデルである半離散的空間曲線の楕円関数解による表示式はまだ得られていないが、それに関係する重要なBobenko-Pinkallの論文の理解を進める上で重要なステップといえる曲線の可積分方程式である半離散的sine-Gorodon方程式の楕円関数解を求めることができて、さらに、Bobenko-Pinkallの論文の結果を楕円曲線の場合に理解する準備が整ったといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
今回得られた手法をもとに、Bobenko-Pinkallの論文における離散的曲面のリーマン・テータ関数による表示式を、楕円関数の場合に書き下して検証する。それにより、半離散的sine-Gordon方程式に付随する半離散的空間曲線についても楕円関数解が求められるという期待がある。それができれば、カライドサイクルの楕円関数解も書き下すことが可能となる。
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Report
(2 results)
Research Products
(4 results)
