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Study on extremal combinatorics by approximate groups

Research Project

Project/Area Number 21K03241
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

Allocation TypeMulti-year Fund
Section一般
Review Section Basic Section 11020:Geometry-related
Research InstitutionTohoku University

Principal Investigator

見村 万佐人  東北大学, 理学研究科, 准教授 (10641962)

Project Period (FY) 2021-04-01 – 2026-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help
¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Keywords擬準同型 / 安定交換子長 / 粗い幾何 / 不変擬準同型 / 安定混合交換子長 / 粗い群 / 群のコホモロジー / 群の有界コホモロジー / 極値組合せ論 / 加法的組合せ論 / 近似群 / ラムゼー型定理 / エクスパンダー族
Outline of Research at the Start

「素数全体の集合は、任意の有限長の等差数列を含む」というGreen-Taoの定理に代表される極値組合せ論・加法的組合せ論的現象の研究を行なう。その際、群の代数的に定義された概念(部分群や準同型写像など)を量的に拡張した概念を用いる。特に、有限群の部分群でのコセットを拡張した概念に近似群(approximate groups)があり、有限等差数列の拡張として近似群を利用して組合せ論的現象を研究する。

Outline of Annual Research Achievements

令和6年度の研究では、「群の実数の加法群への準同型もどき」である擬準同型と、群に安定交換子長(scl)による距離もどきを入れてできる「粗い幾何における群もどき」の間の関係を研究した。より正確には、これらを一つの群のケースだけではなく、群とその正規部分群の組に対して研究した。正規部分群がもとの群と等しいときが群を一つ取った場合に相当する。
「粗い幾何における群もどき」は粗い幾何(coarse geometry)の圏における群対象のことで、粗い群(coarse group)と呼ばれる。LeitnerとVigoloによる2024年出版のモノグラフで研究が進んでいる。群に両側不変距離を入れたものはこのような例になっている。群上の安定交換子長を距離関数とみなそうとすると、三角不等式を加法定数の誤差を除いてしか成立しないという困難がある。この困難は距離に加法定数を加える操作で解消できるが、代償に小スケール幾何が大きく変わってしまう。例えば、この操作でできる距離の作る位相は離散位相になる。他方、この操作で大スケール幾何の構造は変わらない。このようにして、安定交換子長の大スケール幾何:より緻密には、粗い群の構造の研究の動機が生まれる。
研究成果として、群とその正規部分群の組に対して、不変擬準同型の空間を不変準同型の空間で割った商空間の次元と、混合交換子部分群と安定混合交換子長から定まる粗い群の漸近次元が一致することを示した。この次元はグロモフ双曲性を弱い意味でもつ群では多く無限になるので、この粗い群は巨大なものとなる。より扱いやすいものとして、正規部分群がもとの群の交換子部分群で商群が有限生成のとき、粗い群同士の間の自然な射の粗い核(coarse kernel)を特定し、これが不変擬準同型から作られるある有限次元空間と粗い群として同型であることを証明した。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

混合交換子部分群に安定混合交換子長を入れた空間を粗い群(粗い幾何における群もどき)とみなすことで、群もどきの研究に新しい方向性を見出すことができた。一般に群とその正規部分群の組に対し、正規部分群上の不変擬準同型のなす空間は巨大(連続濃度の次元をもつ)になりがちであるが、拡張可能性に注目した商空間を作ると特定の状況でその商空間であれば有限次元性が担保される。このこと自体は過去年度の研究で得ていたが、令和6年度の研究において、部分群がもとの群の交換子部分群のときに粗い群における自然な射の粗い核がこの空間と粗い群として同型であることを示すことができた。これにより、粗い群の中でも有限次元性をもつ部分空間を捉えることができ、緻密な議論を行なえるようになることが期待される。粗い群の研究はLeitnerとVigoloによる2024年出版のモノグラフによって発展したが、現れる例が既存の群論の枠組みで捉えられるものか、ないしは、巨大なものになりがちであった。今回の研究は有限次元の非自明な粗い核の例を安定交換子長を通じて与えるもので、粗い群の今後の研究において意義深い構成となっていると思われる。

Strategy for Future Research Activity

令和6年度の研究では粗い群の間の射の粗い核の特定において、正規部分群がもとの群の交換子部分群であるという条件がついていた。今後の研究として、この仮定を取り除くことに取り組みたい。正規部分群がもとの群の降中心列に現れる群である場合は、交換子部分群のときの議論を組み合わせて粗いアーベル群の一般論を用いることで解決ができるのではないかと考えている。群と正規部分群と不変擬準同型の枠組みでの重要な例として、種数が2以上の向き付け可能閉曲面上の擬アノソフ性をもつ同相写像での写像トーラスの基本群と、この曲面の基本群の交換子部分群がある。この場合、この同相写像の写像類がトレリ群の元でない限り、正規部分群は写像トーラスの基本群の交換子部分群ではない。しかし、一般にこの例では正規部分群は写像トーラスの基本群の導来部分群の列に現れる群にはなっている。特に、もとの群を正規部分群で割った商群は(べき零群とは限らない)可解群となっているときに理論を拡張するのが重要だと思われる。
粗い群の研究としてもう一つ重要と思われるのが、群と正規部分群の組を2つ考え、この間の射を粗い核を用いて研究することである。このような研究の一つは令和6年度の研究で crushing theorem として得ている。そこではこの射が群の準同型写像であることを仮定していたが、粗い群の枠組みで考えているためこの準同型性を擬なものに弱めることができる。この新しい枠組みで初めて出てくる現象の発見なども行ないたい。

Report

(3 results)
  • 2023 Research-status Report
  • 2022 Research-status Report
  • 2021 Research-status Report
  • Research Products

    (18 results)

All 2024 2023 2022 2021

All Journal Article (9 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Peer Reviewed: 9 results,  Open Access: 1 results) Presentation (9 results) (of which Int'l Joint Research: 3 results,  Invited: 5 results)

  • [Journal Article] Commuting symplectomorphisms on a surface and the flux homomorphism2023

    • Author(s)
      Kawasaki Morimichi、Kimura Mitsuaki、Matsushita Takahiro、Mimura Masato
    • Journal Title

      Geometric and Functional Analysis

      Volume: 33 Issue: 5 Pages: 1322-1353

    • DOI

      10.1007/s00039-023-00644-9

    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] The space of non-extendable quasimorphisms2023

    • Author(s)
      Morimichi Kawasaki, Mitsuaki Kimura, Shuhei Maruyama, Takahiro Matsushita and Masato Mimura
    • Journal Title

      Algebraic and Geometric Topology

      Volume: 掲載確定

    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Invariant quasimorphisms for groups acting on the circle and non-equivalence of SCL2023

    • Author(s)
      Shuhei Maruyama, Takahiro Matsushita and Masato Mimura
    • Journal Title

      Israel Journal of Mathematics

      Volume: 掲載確定

    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Survey on invariant quasimorphisms and stable mixed commutator length2023

    • Author(s)
      Morimichi Kawasaki, Mitsuaki Kimura, Takahiro Matsushita and Masato Mimura
    • Journal Title

      Topology Proceedings

      Volume: 掲載確定

    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Bavard's duality theorem for mixed commutator length2022

    • Author(s)
      Morimichi Kawasaki, Mitsuaki Kimura, Takahiro Matsushita, and Masato Mimura
    • Journal Title

      L’Enseignement Mathematique

      Volume: 68 Issue: 3 Pages: 441-481

    • DOI

      10.4171/lem/1037

    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Commuting symplectomorphisms on a surface and the flux homomorphism2022

    • Author(s)
      Morimichi Kawasaki, Mitsuaki Kimura, Takahiro Matsushita, and Masato Mimura
    • Journal Title

      Geometric and Functional Analysis

      Volume: -

    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Mixed commutator lengths, wreath products and general ranks2022

    • Author(s)
      Morimichi Kawasaki, Mitsuaki Kimura, Shuhei Maruyama, Takahiro Matsushita, and Masato Mimura
    • Journal Title

      Kodai Math Journal

      Volume: -

    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] On the spectrum and linear programming bound for hypergraphs2022

    • Author(s)
      Sebastian M. Cioaba, Jack H. Koolen, Masato Mimura, Hiroshi Nozaki, and Takayuki Okuda
    • Journal Title

      European Journal of Combinatorics

      Volume: 104 Pages: 103535-103535

    • DOI

      10.1016/j.ejc.2022.103535

    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Solving linear equations in a vector space over a finite field2021

    • Author(s)
      Mimura Masato、Tokushige Norihide
    • Journal Title

      Discrete Mathematics

      Volume: 344 Issue: 12 Pages: 112603-112603

    • DOI

      10.1016/j.disc.2021.112603

    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] 拡張不能な不変擬準同型のなす空間2024

    • Author(s)
      川﨑盛通, 木村満晃, 松下尚弘, 丸山修平, 見村万佐人
    • Organizer
      日本数学会年会
    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Presentation] sclと粗い群2024

    • Author(s)
      川﨑盛通, 木村満晃, 松下尚弘, 丸山修平, 見村万佐人
    • Organizer
      日本数学会年会
    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Presentation] 素元星座定理・不変擬準同型2024

    • Author(s)
      見村万佐人
    • Organizer
      異分野交流会
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      2023 Research-status Report
  • [Presentation] An introduction to the theory of invariant quasimorphisms2023

    • Author(s)
      Masato Mimura
    • Organizer
      Virtual Seminar on Geometry and Topology
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      2023 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Applications of invariant quasimorphisms and stable mixed commutator length2023

    • Author(s)
      Masato Mimura
    • Organizer
      Virtual Seminar on Geometry and Topology
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] エクスパンダーと有限群と無限群2022

    • Author(s)
      見村万佐人
    • Organizer
      エクスパンダーグラフの新しい構成手法の確立とその応用
    • Related Report
      2022 Research-status Report
  • [Presentation] The Green-Tao theorem for number fields2021

    • Author(s)
      Masato Mimura
    • Organizer
      Interactions between expanders, groups and operator algebras
    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 数体の素元星座定理I2021

    • Author(s)
      見村万佐人
    • Organizer
      第37回代数組合せ論シンポジウム
    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] The Green-Tao theorem for number fields2021

    • Author(s)
      見村万佐人
    • Organizer
      第2回おいでMath談話会
    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Invited

URL: 

Published: 2021-04-28   Modified: 2024-12-25  

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