| Project/Area Number |
21K03241
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
見村 万佐人 東北大学, 理学研究科, 准教授 (10641962)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
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| Keywords | 擬準同型 / 不変擬準同型 / シンプレクティック幾何 / 安定交換子長 / 粗い幾何 / 安定混合交換子長 / 粗い群 / 群のコホモロジー / 群の有界コホモロジー / 極値組合せ論 / 加法的組合せ論 / 近似群 / ラムゼー型定理 / エクスパンダー族 |
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| Outline of Research at the Start |
「素数全体の集合は、任意の有限長の等差数列を含む」というGreen-Taoの定理に代表される極値組合せ論・加法的組合せ論的現象の研究を行なう。その際、群の代数的に定義された概念（部分群や準同型写像など）を量的に拡張した概念を用いる。特に、有限群の部分群でのコセットを拡張した概念に近似群（approximate groups）があり、有限等差数列の拡張として近似群を利用して組合せ論的現象を研究する。
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| Outline of Annual Research Achievements |
群の（実数のなす加法群への）準同型写像の近似概念である不変擬準同型の研究をさらに推し進めた。過去年度では、不変擬準同型を擬準同型の（群から、群とその正規部分群の組への）相対化と捉えた研究を行なってきた。2024年度では、不変擬準同型を不変準同型の擬化と捉えることで分かる現象を見出すことができた。シンプレクティック幾何の枠組みで、与えられたシンプレクティック多様体に対し（コンパクト台をもつ）シンプレクティック微分同相写像のなす群の単位元成分を取り、その普遍被覆を考える。この群はハミルトン微分同相写像のなす群の普遍被覆を正規部分群としてもち、この正規部分群はフラックス写像の核とも解釈できる。この設定で、多様体が非コンパクトである場合は、Rousseauにより単交換子のカラビ準同型写像での値が、フラックス写像での像のシンプレクティックペアリングと関係することが示されている。このとき、特に、系として、シンプレクティック微分同相群の単位元成分の普遍被覆上の可換な2元に対し、それらのフラックスのシンプレクティックペアリングはゼロにならないといけない。他方、多様体が閉である場合は、カラビ準同型写像に相当する非ゼロな準同型写像は存在しないことが知られている。
ここで、不変準同型の「擬化」したものであれば、Shelukhinによって一般のシンプレクティック閉多様体に対し上記の設定で不変擬準同型が構成されている。一般論として群とその交換子部分群の組に対し、交換子部分群上の不変擬準同型から群のアーベル化の上の交代的実数値双線型形式を構成する理論を作った。特に、Shelukhinの不変擬準同型では得られる双線型形式は実線型になり、非コンパクトなときのRousseauの結果の帰結と類似の結果を閉多様体でも得ることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
群の近似概念として、準同型写像の近似概念である不変擬準同型の研究を2024年度まで推し進めてきた。もともとの研究目標は組み合わせ的な概念への応用であったが、不変擬準同型のより幾何的な応用が明らかになってきて、研究もそちらの方向にシフトしている。過去年度では群とその交換子部分群の組に対する安定交換子長と安定混合交換子長の比較問題に取り組んでいた。この研究課題ではもとの群は任意の群でよい一般論であり、特定の幾何学的な設定での応用が望まれていた。今回の研究では、群としてシンプレクティック微分同相群の単位元成分の普遍被覆としてこの一般論を適用することで「不変擬準同型から交代的双線型形式を構成する」理論を、シンプレクティック幾何への応用をもって作ることができた。
このように、当該研究課題での過去年度までの研究の蓄積が2024年度で思わぬ形で相互作用を起こし、一気に花開いたように考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
Shelukhinの不変擬準同型から今回の研究の理論で構成される双線型形式は実双線型であることが一般論から保証されているが、その具体的な表示は一般には分かっていない。シンプレクティック多様体が閉曲面の直積であるときやトーラスのシンプレクティックブローアップであるときは具体的な表示を得ている。具体的な表示や、それ以外にも「この双線型形式がいつ非退化になるか」など、得られた双線型形式のより詳しい情報を取り出したい。
また、シンプレクティック微分同相群の単位元成分の普遍被覆とハミルトン微分同相群の単位元成分の普遍被覆の組の設定で、拡張不能な不変擬準同型のなす商ベクトル空間が有限次元になるかは未解決である。不変擬準同型に幾何的な条件を課してできるこの商ベクトル空間の部分空間の有限次元性を得ることはできた。有限次元であるとわかったので、その次元のより細やかな評価を与えていきたい。
さらに、不変擬準同型から交代的実数値双線型形式を構成する理論を群とその交換子部分群の組から3つ組に拡張した設定での研究も考えている。この設定での研究は、例えば群の降中心列から得られるフィルトレーションへの応用が期待される。
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