| Project/Area Number |
21K03244
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Joetsu University of Education |
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Principal Investigator |
斎藤 敏夫 上越教育大学, 大学院学校教育研究科, 教授 (90397670)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥3,510,000 (Direct Cost: ¥2,700,000、Indirect Cost: ¥810,000)
Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2024: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2023: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2022: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
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| Keywords | ３次元多様体 / 結び目 / デーン手術 / フロースパイン / 仮想結び目図式 / リザンドル / Heegaard分解 / 仮想結び目 / トポロジー |
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| Outline of Research at the Start |
本研究の目的は，３次元多様体のさまざまな分解に対して，新たな発想と思考の枠組みを創り出すことにより，多様体の位相的・幾何的性質の特徴付けや位相不変量を発見することである．具体的には，ヘガード分解，フロースパインによる分解，オープンブック分解の３つを重点的に扱うことを計画している．特に，フロースパインによる分解では，結び目理論において開発された概念を利用して，３次元多様体の分類に実用的な位相不変量を構成する．また，オープンブック分解理論も用いて３次元多様体の幾何的性質の特徴付けを行う．さらに，これらをふまえてレンズ空間手術問題の解決を目指し，双曲構造の退化の様子を解明する一助とする．
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| Outline of Annual Research Achievements |
３次元多様体内の結び目に対する異なるデーン手術が同相な多様体を生成する場合のうち，半整数手術や例外的手術についての研究を，市原一裕氏(日本大学)との共同で実施することにより，次のことが分かった。（以下，p,q>0 とする。）
１．３次元球面における種数gの結び目に対して，p-手術と(p/2)-手術が同相な多様体を生成するならば，p<7g+2 である。
２．外部空間が円板上２本の特異ファイバーをもつザイフェルト多様体となる(整係数ホモロジー球面の)結び目に対して，p-手術と(p/2)-手術が同相な多様体を生成するならば，その結び目は３次元球面内の三葉結び目であり，p=9 である。
３．３次元球面における双曲結び目Ｋに対して，p/q-手術とp/q'-手術が同相な多様体を生成するならば，q=q' かつ p/q=1,2,3,4,1/2,1/3 or 1/4 である。
４．３において，さらにＫが交代結び目またはモンテシノス結び目であるならば，Ｋは８の字結び目であり，p/q=1,2,3 or 4 である。
以上の結果をまとめた論文を学術雑誌に投稿中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
結び目のデーン手術に関する研究に進展はあったものの，いわゆる「コロナ禍」後も国内外での共同研究や研究成果発表が十分に実施できていないため，やや遅れていると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き，結び目のデーン手術については市原一裕氏(日本大学)と，仮想結び目図式を用いた３次元多様体の研究については石井一平氏，中村拓司氏（山梨大学）との共同研究を進める。やや遅れているものの，研究の方向性や進め方を変える必要性はないと考えている。
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