対称空間の一般化およびその極地と対蹠集合の幾何学的研究
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21K03250
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
酒井 高司 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (30381445)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥3,770,000 (Direct Cost: ¥2,900,000、Indirect Cost: ¥870,000)
Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
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| Keywords | 対称空間 / 等質空間 / 対蹠集合 / カンドル |
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| Outline of Research at the Start |
Riemann対称空間は1920年代にE. Cartanにより研究が始められ，以来Riemann幾何学をはじめ，大域解析学，表現論，トポロジーなど多様な分野において重要な対象として研究が進められてきた．Riemann対称空間の一般化については，k対称空間，局所対称空間，弱対称空間など様々な観点からの拡張が与えられ，多方面に研究が発展している．本研究課題では，対称空間の一般化としてgeneralized s-manifoldの概念を導入し，その幾何学に関する研究を行う．
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題ではRiemann対称空間の理論を基に，より一般の対称性を持つ空間について研究を行っている．これまでの研究において我々は，各点で群Γと同型な対称変換群を持つ多様体として一般化されたs多様体の概念を導入した．特に，ΓがZ_2の場合，一般化されたs多様体は対称空間になり，Γが有限アーベル群の場合はLutzによるΓ対称空間の定義と一致する．我々の一般化されたs多様体の定義では，Γが有限アーベル群であることは要請せず，各点での対称変換群が無限群やLie群Γと同型になる対称性も一般化されたs構造として捉えることができる．対称対から対称空間が得られることの拡張として，Γ対称対から一般化されたs多様体を構成する方法を与え，これにより多様な対称性を持つ等質空間を数多く得ることができた．特に，二つの対合が可換であるコンパクト対称三対からZ_2×Z_2対称空間が得られ，可換でない場合はΓが非可換群である一般化されたs多様体が得られる．さらに，構成された一般化されたs多様体の例について，その極地と対蹠集合を具体的に調べた．これにより，複数の一般化されたs構造を許容する等質空間が存在し，極地と対蹠集合が一般化されたs構造の選び方に依存することを具体的に観察することができた．また，対称空間論の拡張として，一般化されたs多様体に対して部分空間を導入し，一般化されたs多様体の対蹠集合と，部分空間の対蹠集合の関係を調べた．特に，Γがアーベル群の場合には各点に対する極地がそれぞれ部分空間になることが分かり，対称変換群による固定点集合の極地分解を用いて，一般化されたs多様体の対蹠数の評価を与えた．また，一般化されたs多様体のカンドルとしての構造を調べた．これらの研究は大野晋司氏（日本大学）との共同研究である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
一般化されたs多様体の極地と対蹠集合に関して大野晋司氏（日本大学）と共同で研究を進めており，定期的に研究打ち合わせを行っている．これまでの研究で一般化されたs多様体の概念を導入しているが，現在その定義の詳細を詰め，基礎理論の整備を進めている．Γ対称対から等質な一般化されたs多様体を構成することができ，特に，コンパクト対称三対からは一般化されたs多様体の重要な例が数多く得られる．さらに，一般化されたs多様体が持つカンドルの構造が明らかになったことで，今後は他の研究分野との関連にも発展することが期待される．これらの研究成果について，現在大野氏と共著論文を準備中である．
本研究課題に関連して，2023年度に国際会議およびシンポジウムを開催した．2023年8月31日（木）～9月3日（日）に広島大学にて「第70回幾何学シンポジウム」を開催し，2023年11月6日～11月9日に台湾のNational Tiwan University, National Center for Theoretical Sciences (NCTS)にて"The 4th Taiwan-Japan Joint Conference on Differential Geometry"を開催した．また，2023年11月13日～11月16日，11月27日～11月28日にErnst Heintze教授（アウグスブルク大学）を招いて早稲田大学にて開催された"Representations of Symmetric Spaces"では"Basics of Riemannian symmetric spaces (1)"という講演タイトルでRiemann対称空間に関する研究の基礎について講演を行った．同研究集会では大野氏が一般化されたs多様体に関する共同研究について研究発表を行った．これらの研究集会にて，国内外の研究者達と最新の研究情報を交換するとともに，今後の研究の方向性について検討を行った．
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| Strategy for Future Research Activity |
Γ対称空間および一般化されたs多様体の幾何学の基礎理論の整備を引き続き進める．これまでの研究により，具体例の構成とそれらの極地と対蹠集合について理解が進んだ．今後は，これらの具体的な観察を基に，一般論の整備を進める計画である．特に，古典的な対称空間の理論および正則s多様体に関する先行研究を一般化されたs多様体に対して拡張する方針で研究を進める．これにより，Γ対称空間および一般化されたs多様体の対蹠集合の幾何学的意味を明らかにすることを目指す．一般化されたs多様体が持つカンドルの構造が明らかになったことで，新たな展開が期待される．今後は結び目理論やカンドルの理論との関係についても研究を進める．大野氏と共同研究によりこれまでに得られた成果を共著論文として完成させ，発表することを目指す．
本研究課題によりセミナーおよび研究集会を計画する．東京都立大学幾何学セミナーに本研究課題に関連する研究者を招き，最新の研究成果に関して講演を行ってもらう．2024年4月に韓国からYoung Jin Suh教授をはじめ3名の研究者を東京都立大学に招待し，"One-day Workshop on Submanifolds in Symmetric Spaces 2024"を開催した．また，2024年9月に関西大学において幾何学シンポジウムを開催する計画であり，10月には鶴岡微分幾何研究集会を計画している．これらの研究集会において，関連する国内外の研究者たちと議論と情報交換を行い，本研究課題を活発に推進する計画である．さらに，2024年度中に海外からの研究者の招聘を予定している．また，2023年度には大学業務のため海外出張に行くことができなかったが，2024年度中に海外の研究機関を訪問し本研究課題に関する研究を進める計画である．
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Report
(3 results)
Research Products
(12 results)
