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Classification of ribbon 2-knots and their cross sectional ribbon 1-knots

Research Project

Project/Area Number 21K03251
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

Allocation TypeMulti-year Fund
Section一般
Review Section Basic Section 11020:Geometry-related
Research InstitutionOsaka Metropolitan University (2022-2023)
Osaka City University (2021)

Principal Investigator

金信 泰造  大阪公立大学, 大学院理学研究科, 特任教授 (00152819)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 角 俊雄  九州大学, 基幹教育院, 教授 (50258513)
Project Period (FY) 2021-04-01 – 2025-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help
¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000)
Fiscal Year 2023: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2022: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2021: ¥390,000 (Direct Cost: ¥300,000、Indirect Cost: ¥90,000)
Keywords2次元リボン結び目 / 結び目群 / 全射準同型 / ねじれAlexander多項式 / 1次元リボン結び目 / 結び目の対称和 / Jones多項式 / HOMFLYPT多項式 / Q多項式 / Kauffman多項式 / 結び目 / リボン結び目 / 対称和 / 対称同値 / refined Jones 多項式 / 2次元リボン結び目
Outline of Research at the Start

2次元リボン結び目の数え上げと分類を行う.すなわち,(1) 小さい2次元リボン結び目(フュージョン数1,長さ7以下の2次元リボン結び目,および,リボン交点数5以下の2次元リボン結び目)の数え上げと分類を行う.(2) フュージョン数が1の2次元リボン結び目の分類の研究を行う.(3) ねじれAlexander多項式を利用して,2次元リボン結び目の半順序の研究を行う.(4) 2次元リボン結び目のファイバー性の研究を行う.(5) 1次元リボン結び目は対称和の形で表されるか,というLammの問題を軸に,対称和で表された1次元リボン結び目の多項式不変量の研究を行う.

Outline of Annual Research Achievements

当研究の目的として以下の5項目のうちで,(3) 2次元リボン結び目群の間の全射準同型の研究.(5) 2次元リボン結び目の切り口となる1次元リボン結び目の多項式不変量による分類の研究.について成果を得た.
(注意.これまでは, (3) 2次元リボン結び目の半順序の研究.としてきた.古典的結び目では,結び目群の間の全射準同型の存在により半順序を定義できるが,2次元結び目では同様に半順序が定義できるかどうか未解決なので,今後はこのように改める.)

(3) フュージョン数が1でリボン交点数が4以下の2次元リボン結び目121個の結び目群の間の全射準同型の存在を調べた.全部で14,520の結び目群の組を調べた.その結果,27組について全射準同型が存在し,5組が不明,残りは存在しないことがわかった.方法は以下の通り.まず,Alexander多項式を比較することにより14,159組について全射準同型が存在しないことがわかる.次に,各組の結び目群からのSL(2,5)表現を求めて,その固有値,ねじれAlexander多項式を比較することで291組について全射準同型が存在しないことがわかる.同様のことを,SL(2,7), SL(2,8), SL(2,9), SL(2,11), SL(2,23), SL(3,3), SL(3,5)表現でおこなうと,34組が残る.そのうちの2組については交換子部分群の考察(ファイバー性を調べる)から全射準同型が存在しないことがわかる.残りの32組のうちの27組について全射準同型の構成に成功したが,5組については不明である.

(5)の研究から派生した成果として,2つの2本橋結び目のJones多項式の積の形のJones多項式をもつ2本橋結び目の無限族を発見した.HOMFLYPT多項式についても同様の例を発見した.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

当研究の目的として以下の5項目を掲げた.(1) 小さい2次元リボン結び目の数え上げとその分類.(2) フュージョン数が1の2次元リボン結び目の分類.(3) 2次元リボン結び目群の間の全射準同型の研究.(4) 2次元リボン結び目のファイバー性の研究.(5) 2次元リボン結び目の切り口となる1次元リボン結び目の多項式不変量による分類の研究.

今年度は主に,(3)について成果を上げることができたと考える.また,(1),(3)についても若干の知見が得られた.(5)についても,この研究から派生したJones多項式の研究が進展した.

Strategy for Future Research Activity

当初の研究目的に掲げた5項目に沿って研究を進めたい.当研究の目的として以下の5項目を掲げた.(1) 小さい2次元リボン結び目の数え上げとその分類.(2) フュージョン数が1の2次元リボン結び目の分類.(3) 2次元リボン結び目群の間の全射準同型の研究.(4) 2次元リボン結び目のファイバー性の研究.(5) 2次元リボン結び目の切り口となる1次元リボン結び目の多項式不変量による分類の研究.

(1)については,フュージョン数1,長さ6以下については数え上げと分類が完了し,高橋功多との共著論文を出版したが,フュージョン数1,長さ7の数え上げと分類は2021年度に完了しており,これを整理してまとめる作業が残っている.(3)は今年度に一定の成果を得た.(5)については,引き続きLammが与えた対称和で表された1次元リボン結び目の表について,多項式不変量による分類の研究を継続したいと考えている.さらに,Jones多項式,HOMFLYPT多項式,Q多項式を共有する様々な結び目の組みで興味を引くものを発見した.特に,積の形のJones多項式をもつ2本橋結び目の無限族を発見した.また,一般の結び目についても積の形のJones多項式,HOMFLYPT多項式をもつものが多数存在することがわかってきた.これまでの研究では,素な結び目同士でその不変量を比較するのが一般的であったが,合成結び目との比較も考慮に入れて多項式不変量の分類の研究を進めたい.

Report

(3 results)
  • 2023 Research-status Report
  • 2022 Research-status Report
  • 2021 Research-status Report
  • Research Products

    (10 results)

All 2023 2022 2021

All Journal Article (4 results) (of which Peer Reviewed: 4 results) Presentation (6 results) (of which Int'l Joint Research: 4 results,  Invited: 5 results)

  • [Journal Article] Ribbon knots with different symmetric union presentations2023

    • Author(s)
      Kanenobu Taizo、Yoshikawa Shuhei
    • Journal Title

      Involve, a Journal of Mathematics

      Volume: 16 Issue: 1 Pages: 167-182

    • DOI

      10.2140/involve.2023.16.167

    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Extension of Takahashi’s ribbon 2-knots with isomorphic groups2023

    • Author(s)
      Kanenobu Taizo、Sumi Toshio
    • Journal Title

      Journal of Knot Theory and Its Ramifications

      Volume: 32 Issue: 02

    • DOI

      10.1142/s021821652350013x

    • Related Report
      2023 Research-status Report 2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] 4-Move distance of knots2022

    • Author(s)
      Kanenobu Taizo、Takioka Hideo
    • Journal Title

      Journal of Knot Theory and Its Ramifications

      Volume: 31 Issue: 09

    • DOI

      10.1142/s0218216522500493

    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Classification of ribbon 2-knots of 1-fusion with length up to six2021

    • Author(s)
      Kanenobu Taizo、Takahashi Kota
    • Journal Title

      Topology and its Applications

      Volume: 301 Pages: 107521-107521

    • DOI

      10.1016/j.topol.2020.107521

    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Surjective homomorphisms between ribbon 2-knot groups2023

    • Author(s)
      Taizo KANENOBU
    • Organizer
      The 14th TAPU-KOOK Joint Seminar on Knots and Related Topics & The 16th Graduate Student Workshop on Mathematics
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Epimorphisms between ribbon 2-knot groups2023

    • Author(s)
      金信 泰造
    • Organizer
      研究集会「拡大 KOOK セミナー 2023」
    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Presentation] Epimorphisms between ribbon 2-knot groups2023

    • Author(s)
      Taizo KANENOBU
    • Organizer
      BUAP-23, IPPICTA (Iberoamerican and Pan Pacific International Conference on Topology and its Applications)
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 同型な結び目群をもつ2次元リボン結び目2022

    • Author(s)
      金信 泰造
    • Organizer
      研究集会「拡大 KOOK セミナー2022」
    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] Ribbon knots with different symmetric union presentations2022

    • Author(s)
      Taizo KANENOBU
    • Organizer
      The 2023 Winter TAPU Workshop on Knots and Related Topics
    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Polynomial invariants of a certain family of knots2021

    • Author(s)
      Taizo Kanenobu
    • Organizer
      The 12th TAPU-KOOK Joint Seminar on Knots and Related Topics
    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited

URL: 

Published: 2021-04-28   Modified: 2024-12-25  

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