双曲絡み目のパラボリック表現とねじれアレキサンダー多項式に関する研究
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21K03253
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
森藤 孝之 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (90334466)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
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| Keywords | 双曲絡み目 / パラボリック表現 / ねじれアレキサンダー多項式 |
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| Outline of Research at the Start |
双曲結び目・絡み目についてはこれまでに多くの研究の蓄積がある．特に，古典的アレキサンダー多項式の代数的性質からこれらの幾何的性質を特徴づける試みは，「交代的」という範疇において満足のいく成果が得られている．本研究では双曲結び目・絡み目の幾何的性質を，それらの基本群とその表現から標準的に定まる多項式の代数的性質で，「交代的」という制約なしに特徴づけることを目的としている．この試みは前述の結果の精密化にあたるものである．
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、双曲絡み目のパラボリック表現に付随したねじれアレキサンダー多項式の基本的性質を明らかにし、そこから得られる代数的性質を用いて、絡み目の幾何学的性質を特徴付ける枠組みを与えることである。より具体的には、以下の2点を明らかにすることが目標となる：
（A）双曲絡み目のパラボリック表現に付随したねじれアレキサンダー多項式の明示公式、
（B）得られた多項式の性質と、双曲絡み目のファイバー性やサーストンノルムとの関係。
これらの研究目標に対して、今年度は以下の成果を得た：（1）Friedl-Vidussiのファイバー性に関する消滅定理について、ねじれアレキサンダー多項式が消滅するような結び目群の表現を許容する有限群の特徴づけを与えた（明治大学の鈴木正明教授、京都大学数理解析研究所の石川勝己助教との共同研究）。（2）二面体群やメタサイクリック群を含むいくつかの有限群を経由する結び目群の表現に付随したねじれアレキサンダー多項式の明示公式を与えた（明治大学の鈴木正明教授との共同研究）。（3）昨年度考察していた円周上の1点穴あきトーラス束のSL(3,C)-既約表現の1-パラメータ族に関する成果について、三葉結び目補空間の計算を再検証することで、一部の誤りを訂正するとともに、この表現の族が定める曲線の種数を具体的に求めた。（4）前項の表現の族に付随したねじれアレキサンダー多項式の明示公式を与え、特に、変数を1に特殊化することで得られるライデマイスタートーションと呼ばれる不変量について、興味深い現象を捉えることに成功した（米国・テキサス大学ダラス校のAnh T. Tran准教授との共同研究）。
一方、COVID-19の影響により開催を延期していた「トポロジーセミナー」を、今年度は数回開催することができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
「５. 研究実績の概要」欄で述べた通り、今年度はトポロジーセミナーを開催できるようになって専門的知識を得やすくなったこと、また、国内の共同研究者との研究交流が円滑に進んでいるため。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究計画最終年度となる令和6年度は、前年度までに得られた研究成果をもとにして、「５. 研究実績の概要」欄で述べた目標のうち、特に（B）に関わる部分について重点的に考察を行う。また、COVID-19の影響により、ここ数年は海外共同研究者との打ち合わせをemailやオンラインツールのみで行っていたので、可能な範囲で対面形式の研究交流を進めることで、本研究課題へのフィードバックを与えることを目標とする。
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Report
(3 results)
Research Products
(11 results)
