双曲絡み目のパラボリック表現とねじれアレキサンダー多項式に関する研究
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21K03253
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
森藤 孝之 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (90334466)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
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| Keywords | 双曲絡み目 / パラボリック表現 / ねじれアレキサンダー多項式 |
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| Outline of Research at the Start |
双曲結び目・絡み目についてはこれまでに多くの研究の蓄積がある．特に，古典的アレキサンダー多項式の代数的性質からこれらの幾何的性質を特徴づける試みは，「交代的」という範疇において満足のいく成果が得られている．本研究では双曲結び目・絡み目の幾何的性質を，それらの基本群とその表現から標準的に定まる多項式の代数的性質で，「交代的」という制約なしに特徴づけることを目的としている．この試みは前述の結果の精密化にあたるものである．
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、双曲絡み目のパラボリック表現に付随したねじれアレキサンダー多項式の基本的性質を明らかにし、そこから得られる代数的性質を用いて、絡み目の幾何学的性質を特徴付ける枠組みを与えることである。より具体的には、以下の2点を明らかにすることが目標となる：
（A）双曲絡み目のパラボリック表現に付随したねじれアレキサンダー多項式の明示公式、
（B）得られた多項式の性質と、双曲絡み目のファイバー性やサーストンノルムとの関係。
この研究目標に対して、今年度は以下の成果を得た：（１）Friedl-Vidussiのファイバー性に関する消滅定理について、これまで具体的な例は知られていなかったが、3次元球面内の非ファイバー結び目とその線形表現で消滅定理を満たすものを組織的に構成した（明治大学の鈴木正明教授との共同研究）。（２）円周上の1点穴あきトーラス束のSL(3,C)-既約表現の1-パラメータ族（Mangum-Shanahan曲線）について考察し、三葉結び目補空間のMangum-Shanahan曲線の種数を具体的に計算した。これと、昨年度得られた8の字結び目補空間のMangum-Shanahan曲線の種数に関する結果を組み合わせることで、これらの曲線が位相的に異なることを示した。（３）双曲的ファイバー結び目の双曲体積の明示公式として、（組み合わせ数学に現れる）ベル多項式を用いた表示を導いた（東京農工大学の合田洋教授との共同研究）。
一方、本研究計画の遂行にあたり、専門的知識を得るための貴重な機会と捉えていた「トポロジーセミナー」を、COVID-19の長期的な影響により、今年度も開催することができなかった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
「研究実績の概要」欄で述べた通り、セミナーが開催できない等の遅れが研究計画の一部で生じているものの、共同研究も含めて、全体としてはおおむね順調に進展しているため。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究計画3年目となる令和5年度は、昨年度得られた研究成果をもとにして、「研究実績の概要」欄で述べた研究目標のうち、（A）と（B）の橋渡しに関わる部分について重点的に考察を行う。また、COVID-19の影響が落ち着きを見せ始めているので、社会情勢を見極めながら、可能な範囲で国内外の研究者との研究交流を進め、本研究課題へのフィードバックを与えることを目標とする。
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Report
(2 results)
Research Products
(4 results)
