結び目の局所変形の研究

Research Project

Project/Area Number	21K03263
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 11020:Geometry-related
Research Institution	Gunma National College of Technology
Principal Investigator	清水理佳群馬工業高等専門学校, 一般教科(自然), 准教授 (40638764)
Project Period (FY)	2022-11-15 – 2027-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help	¥2,860,000 (Direct Cost: ¥2,200,000、Indirect Cost: ¥660,000) Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2021: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Keywords	結び目理論 / 結び目図式 / 結び目解消操作 / 領域交差交換 / 結び目 / 局所変形
Outline of Research at the Start	結び目とは、３次元の空間に円周を絡ませて埋め込んだ像のことである。結び目のほどき方によってその絡まり具合を研究するのが、結び目解消操作の研究である。本研究では、結び目解消操作のひとつである領域交差交換を中心に、その性質や他の変形との関係について研究する。そして得られた結果を、中西予想等の未解決問題への新たなアプローチとして応用する。
Outline of Annual Research Achievements	2023年度は主に２つのテーマ、「領域結び目解消数の評価の更新」と「円周付き領域交差交換」について、研究を進めました。１．領域結び目解消数の評価の更新タイ高専、KOSEN-KMITLのDawan Chumpungam 氏との共同研究によって、結び目図式の領域結び目解消数と交点数の関係に関する不等式を更新しました。この結果について共著論文を作成し、プレプリントサーバーにアップして、学術誌にも投稿しました。また、この研究の中で領域交差交換に関するこれまでの研究結果をブール代数を用いて記述し直すことにも成功しました。研究手法の幅が大きくなり、領域結び目解消数の評価や関連するゲーム、「領域選択ゲーム（Region Select）」における最適化の研究にもつなげることができました。２．円周付き領域交差交換の定義と研究領域交差交換によって任意の結び目はほどけますが、ほどけない絡み目もあることが知られています。群馬高専の学生と行った、折り紙における領域交差交換に関する研究を応用して、絡み目における操作、「円周付き領域交差交換」というものを定義して、どんな絡み目図式でも円周付き領域交差交換でほどくことができるということを証明しました。また、結び目や絡み目図式における円周付き領域交差交換そのものの性質もいくつか明らかにしました。研究結果を共著論文にまとめてプレプリントサーバーにアップして、学術誌にも投稿しました。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason おかげさまで計画通りに進めることができています。
Strategy for Future Research Activity	2023年度に得られた、領域交差交換や領域結び目解消数に関する研究結果をふまえて、さらなる領域結び目解消数の評価を多方面から行い、タングル分解を用いた領域交差交換の研究もより具体的な絡み目のタイプや空間グラフにも対象を広げて研究していきたいと思います。ひずみ度については、結び目射影図や曲面上の曲線の独立領域集合に関する研究を行いひずみ度との関係をさらに明らかにすることによって仮想結び目の結び目解消数の評価等にもつなげていく予定です。