Sharp bound of the spectral gap for particle systems

• Project/Area Number: 21K03267
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12010:Basic analysis-related
• Research Institution: Niigata University
• Principal Investigator: 永幡 幸生 新潟大学, 自然科学系, 教授 (50397725)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2024-03-31
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥2,340,000 (Direct Cost: ¥1,800,000、Indirect Cost: ¥540,000); Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000); Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000); Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
• Keywords: spectral gap / zero-range process / マルチンゲール法 / スペクトルギャップ / 粒子系 / ランダムウォーク / ゼロレンジモデル

Outline of Research at the Start

本研究で取り扱う粒子系は、気体運動を簡略化した確率モデルです。これらのモデルは適切な時間―空間のスケール変換を行うことで様々な様相をみせ、あるスケール変換では確率モデルから決定論的な非線形拡散方程式を、別の変換を用いると、揺動として拡散過程を、また別の変換を行うことにより確率偏微分方程式のKPZ方程式を得ることができます。これらのスケール変換が数学的に適用できる技術的前提条件の一つとして、スペクトルギャップの詳細評価が挙げられます。一方でこの評価はモデル依存性が大きく、部分的にしか解決されていません。本研究では先行研究を基に多くのモデルで適用可能な評価法の構築を行います。

Outline of Annual Research Achievements

最終年度に実施した研究に関しては、計算機を用いたスペクトルギャップの評価に関してである。行列の反復計算を用いたスペクトルギャップの評価に関して研究を行い次のような結果を得た。zero-range process を含むような粒子系でこの方法を行うのは状態空間（行列のサイズ）の関係で工夫が必要であること。一方で状態空間は大きくないが非自明な例として挙げられる非対称ランダムウォークのスペクトルギャップの評価では（予想していたものより）詳細な結果が得られることが分かった。
研究期間全体を通しては、本研究の主目的であるzero-range process のスペクトルギャップの研究に関して、既存研究の拡張に関して、制約はつくものの、満足のできる結果を得ることができた。また数値計算の方法論として粒子系には適用が難しそうだが、もう少し簡単なモデルで、かつ非自明なものに対して適用可能な方法論を導き出せた。
特筆すべき点は、既存研究である Landim-Sethurman-Varadhan らによる研究では「Lu-Yauによるマルチンゲール法の適用」が鍵になるが、その評価において、ヘルダー型の関数不等式を適用する必要がありこれを適用するには評価が粒子数密度に依存しないことが条件になる。一方で粒子数密度に依存する場合にヘルダー型の不等式を適用すると、期待する結果を得ることができない。これに対して本研究ではヘルダー型の不等式を使わずに、モデルの特性を活用して評価をすることにより、粒子数密度に依存したスペクトルギャップの評価をすることが可能になった。ただしモデルの特性を活用するため、制約条件が必要となる。

Research Products

• [Funded Workshop] The 21st Symposium Stochastic Analysis on Large Scale Interacting Systems (2023)