| Project/Area Number |
21K03270
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12010:Basic analysis-related
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
高山 信毅 神戸大学, 理学研究科, 教授 (30188099)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
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| Keywords | 多変数超幾何関数 / honomic勾配降下法 / 分布 / Feynman積分 / 数値解法 / 統計分布 / 数値計算 |
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| Outline of Research at the Start |
ガンマ関数, 不完全ガンマ関数は古典的な特殊関数論の大きな研究テーマであった. 一方, 古典的な統計学の検定論においてもこれらは中心的役割をはたす. したがって, 現代的な多変数超幾何関数論は現代統計学においてやはり重要な役割をはたせるのであろう.
その役割をはたすためには ``多変数超幾何微分方程式の解の大域挙動の研究と精密な数値評価'' が大きく進展する必要がある. 本研究は, 多変数超幾何微分方程式の解の大域挙動を明らかにし, それを用いて多変数超幾何関数の精密な数値評価を可能にすることを目的とする.
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| Outline of Annual Research Achievements |
Trefethenらが提案したチェビシェフ多項式を用いた微分方程式の近似解の計算はとても優れた方法であるがこの方法を別の立場で理解し多変数化する方針の一つを得た. 我々の立場では (1) チェビシェフ点と重みを用いる近似積分公式で常微分方程式 Lf=0 を Lf の積分の最小化とみなす. (2) 初期条件や境界条件はこの最適化問題の制約と思う. 以上の見方により近似積分公式, 最適化手法を用いて常微分方程式の近似解を求めるより一般な方法が得られる. この方法を random matrix の固有値の分布問題を holonomic gradient method により解析する問題に適用し従来の方法に比べ良好な数値近似解を得ることができるようになった. 以上の結果は arxiv:2111.10947 の改訂版に詳しく記述した.
昨年度, 多様体上へのD-加群の有理制限アルゴリズムを与えあるHornの超幾何系に対してその特異点である超曲面への制限の計算も可能であることを示した. このアルゴリズムを実装しHornのリストの超幾何系の超曲面への制限をすべて計算した.
超幾何系の contiguity relation はパラメータが generic な時にはよく知られているが parameter が退化した場合は斉藤によるA-超幾何系の場合を除きよくわかっていない. contiguity relation は差分方程式による数値計算やexact samplerの構築に必要なものでありパラメータが退化した場合の系統的研究が必要である. Appell 関数 F1, F2 に対して微分方程式の有理式解を求める方法を援用して退化した場合の contiguity relation をすべて求めた.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の目標であったTrefethen らが提案するチェビシェフ多項式を用いた微分方程式の近似解の計算方法の一般化が得られた. 【接続公式の研究を大域的な数値計算に活かすこと】の研究を開始したいと計画していたが開始できず, 代わりにニューラルネットの特殊関数を用いた最尤推定への応用の研究の準備に多くの時間を費やした.
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| Strategy for Future Research Activity |
申請時に挙げた問題3: 【接続公式の研究を大域的な数値計算に活かすこと】の研究を完成させる.
パラメータが退化した場合のcontiguity relationの求め方を一般の場合に与える.
ニューラルネットを用いholonomic勾配降下法の初期値を求める方法は新しい方向性である. この方法を Fisher-Bingham 分布のみならず他の積分であらわされる分布に対しても適用する.
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