A representation of the Teichmuller modular group as a group of rational transfomations and its applications to dynamical systems and Kleinian groups
Project/Area Number |
21K03271
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Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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Allocation Type | Multi-year Fund |
Section | 一般 |
Review Section |
Basic Section 12010:Basic analysis-related
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Research Institution | Shimane University |
Principal Investigator |
中西 敏浩 島根大学, 学術研究院理工学系, 教授 (00172354)
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Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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Budget Amount *help |
¥2,600,000 (Direct Cost: ¥2,000,000、Indirect Cost: ¥600,000)
Fiscal Year 2023: ¥260,000 (Direct Cost: ¥200,000、Indirect Cost: ¥60,000)
Fiscal Year 2022: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,820,000 (Direct Cost: ¥1,400,000、Indirect Cost: ¥420,000)
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Keywords | タイヒミュラー空間 / クライン群 / リーマン面 / 双曲幾何学 / 離散群 / 写像類群 |
Outline of Research at the Start |
写像類群(タイヒミュラー・モジュラー群)は多分野で重要な研究対象であるが複素解析学からの興味はリーマン面の変形空間であるタイヒミュラー空間上への写像類群の作用とその力学系である。写像類群についてすでに膨大な研究成果があるが,その理論の進展に比べて,理論の実践や応用面 ― 具体的な例の構成や定量的な事実は乏しいと思われる。申請者たちは従来の研究で位相的有限な曲面の写像類群を有理変換群として表現できることを示した。その過程で得られたさまざまなデータを活かして,複素解析,トポロジー,双曲的3次元多様体,離散群論,数論,複素力学系などに係わる諸問題を数量的に解き明かし,実例を作るという課題に取り組む。
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Outline of Annual Research Achievements |
種数2の閉曲面のタイヒミュラー空間の大域座標系を用いた写像類群の研究をおこなった。双曲閉曲面上の閉測地線の長さはタイヒミュラー空間上の関数(測地的長さ関数)を定める。種数g>1の双曲閉曲面のタイヒミュラー空間は6g-5個の測地的長さ関数の組による座標系を許容するので,g=2の時は7個の測地的長さ関数によるタイヒミュラー空間の大域座標系が存在する。これら7個の測地的長さ関数が双曲曲面を一意化するフックス群(曲面の基本群の忠実かつ離散なPSL(2,R)表現)を共役の違いを除いて復元するが,そのフックス群を具体的に求める研究は多くのタイヒミュラー空間の研究の中でも欠如していた。研究業績の一つは,適切に選んだ7個の測地的長さ関数からフックス群の生成系の行列表現を求めたことである。さらにこの測地的長さ関数の座標系を用いて写像類群のタイヒミュラー空間上の作用が有理変換で表されることを示した。アールフォルスやベアスらによる研究で明らかになったようにタイヒミュラー空間とクライン群(PSL(2,C)の離散部分群)および双曲3次元多様体とは密接につながっている。円周上の曲面束の構造をもつ双曲3次元多様体は曲面群のベアス埋込みを用いた擬フックス群表現の空間の境界にあり,擬アノソフ的写像類の不動点を用いて構成される。私たちは上で述べた測地的長さ関数を複素化して曲面の基本群のPSL(2,C)表現の空間の座標系に拡張し,そこでも写像類群が有理変換群として作用することを用いてこのような双曲3次元多様体の例を見つける研究をおこなった。現在,その一例と考えられるものについて計算を行なっている。その群の元は16次の代数的数を原始元とする代数体に成分をもつSL(2,C)の行列であり,コンピュータによる数式処理を援用しても計算が大変であったが,もっとも困難な離散性の判定については最終段階に入っている。
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
円周上の閉曲面束の構造をもつ3次元双曲多様体を一意化するクライン群の例を見つけようと計算している。群の離散判定に時間がかかり,まだ論文が完成していない。その他に一つ穴あきトーラス群のSL(2,C)表現の空間に作用する双曲的写像類の安定多様体を見つけようと研究をおこなっているがまだ計算を終笑すことができていない。
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Strategy for Future Research Activity |
円周上の閉曲面束の構造をもつ3次元双曲多様体を一意化するクライン群の例については,現在計算しているものについてはまもなく完成する予定で現在論文を執筆中である。この計算で得られた数式処理用プログラムやノウハウを他のクライン群の例の発見に結びつける。また論文完成後,ただちに一つ穴あきトーラス群のSL(2,C)表現の空間に作用する双曲的写像類の安定多様体の計算を再開させる。
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Report
(2 results)
Research Products
(7 results)