| Project/Area Number |
21K03287
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12010:Basic analysis-related
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
田辺 正晴 東京工業大学, 理学院, 講師 (60272663)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥2,600,000 (Direct Cost: ¥2,000,000、Indirect Cost: ¥600,000)
Fiscal Year 2025: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2024: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2023: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2022: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2021: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
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| Keywords | 複素解析 / リーマン面 / 正則写像 |
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| Outline of Research at the Start |
リーマン面と呼ばれるものが有る。これは、簡単に言えば、形は、球面、あるいは浮き輪の表面、２人乗り浮き輪の表面、更にはnを任意の自然数としてn人乗り浮き輪の表面、これらのどれかであり、各点の近傍が複素平面上のある開集合と同じと見れるものである。
リーマン面間の写像を考える。各点の近傍が複素平面上のある開集合と同じと見れるから、写像が各点で複素微分可能であるものを考えることができて、この様な写像をリーマン面間の正則写像という。
リーマン面間の正則写像については、単に連続な写像と比べて様々な制限があることが知られていて、この研究では、リーマン面間の正則写像について、新しい定理等を発見してゆく。
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| Outline of Annual Research Achievements |
コンパクトリーマン面間の正則写像の剛性に関する緒性質を，ヤコビ多様体間の準同型の言葉で表現し，それら定理の結びつきについて，新しい視点を提供することを目指して研究を進めた．特に，種数2以上のコンパクトリーマン面間の正則写像について，ホモロジー群間に誘導される準同型による表現の研究を行った．
「種数2以上のコンパクトリーマン面X, Y間の正則写像の位数が素数であるとき，ホモロジー群間に誘導される準同型による表現は，X, Yで標準ホモロジー基底をうまく取れば，いくつかの行列表現のうちどちらかになる．」ことがH.H. Martensにより示されている．X, Yで標準ホモロジー基底をうまく取り，限られた行列表現（normal formと呼ばれる）に帰着させるという問題は，もともとはリーマン面の周期行列のreductionに関するポアンカレの研究から派生したものである．その後の研究でH.H. Martensの上の結果，normal formの数は２つの表現行列であることが示せていた．これを発展させて，結局正則写像の位数が素数であるときは，「標準ホモロジー基底をうまく取ればの」部分は正則自己同型であり，正則写像の数は，normal formの数２つに，X，Yの正則自己同型の数を掛けたもの以下であると予想し，証明を考えてきた．結果としては，まだ成功していない．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
この問題に関して，これまでに知られている手法は全て試したように思うが，それでも特には進展が得られなかった．全く別の切り口，手法を思いつくことが必要であると感じている．
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| Strategy for Future Research Activity |
種数2以上のコンパクトリーマン面間の正則写像について，位数が素数とは限らない場合のホモロジー表現についても考えてみる．また，コンパクトな面に限らず，ノード付きリーマン面もこの問題での研究対象とすることも考える．ノード付きリーマン面に関しては，上記のnormal formの様な研究は見当たらないので，研究対象として十分価値あるものと思われる．
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