可解リー群およびその群環の表現に関わる調和解析の展開

Research Project

Project/Area Number	21K03294
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 12010:Basic analysis-related
Research Institution	Tottori University
Principal Investigator	井上順子鳥取大学, 教育支援・国際交流推進機構, 教授 (40243886)
Project Period (FY)	2021-04-01 – 2025-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2022)
Budget Amount *help	¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000) Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Keywords	可解リー群 / Lp-フーリエ変換 / ユニタリ表現 / 非可換調和解析 / 表現論 / フーリエ変換
Outline of Research at the Start	可解リー群の表現の構成と分解、および群環の構造の解析とその応用において次の問題を扱う。 (1) 指数型可解リー群において、一般の複素部分リー環から複素解析的誘導表現を構成し、その既約分解と超関数の意味でのフロベニウス相互律を調べる。 (2) 群環および群環の表現の解析として、(2-1) 特に指数型可解リー群を対象に、群環の構造に関わる基本性質を軌道法を用いて調べる。(2-2) リー群のLpフーリエ変換（1 < p < 2）のノルムおよび極値関数について調べる。冪零および可解リー群におけるノルム評価の精密化、さらに対象とする群を拡げて群拡大とノルムの関連等を調べる。
Outline of Annual Research Achievements	可解リー群におけるKunze-Stein現象の類似については、Poguntkeの先行研究により、完全可解リー群で中心を法とするKunze-Stein現象が成り立つ例が発見された一方、連結単連結冪零リー群Gにおいては、本質的なKunze-Stein現象は成り立たないこと、即ちGの中心に含まれる閉部分群Zのユニタリ指標からの誘導表現πにおいて、その全ての行列要素が、1以上の有限指数qについてq乗可積分ならば、ZはGの中心であり、πはGの2乗可積分既約表現の（重複）直和であることも示された。このことから、可解リー群においてKunze-Stein現象が群環の構造を記述する重要な性質であることが予想される。そこで本研究では、指数型可解リー群において、中心を法とするKunze-Stein現象の成立・不成立と、群環の＊正則性(*-regularity)との関連について調べ始めた。まだ具体的な結果は得られていないが、＊正則性に関わるこの問題の定式化および背景となる群環の解析について2023年1月の「表現論ワークショップ」で議論を行った。群上のLpフーリエ変換の解析については、引き続きユニモジュラーI型局所コンパクト群GにおいてLpフーリエ変換のノルム\|Lp(G)\|を扱った。スファックス大学（チュニジア）のBaklouti氏を短期招聘し、Lpフーリエ変換のノルム評価に関する研究議論を行い、本年度は、群のコンパクト拡大に関連してこれまでの研究で得られた上からのノルム評価の結果を、一般の群拡大を対象とするノルム評価に拡張する方向で研究を進めている。この研究事項を次年度に継続、発展させ、一般の群拡大におけるノルムの上からの評価の改良に繋げることを目指している。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason 指数型可解リー群の群環の表現の解析については、行列要素のLp評価と群環の＊正則性の関係を調べる方針に沿って、技術的な準備を進めているところである。また、Lpフーリエ変換のノルム評価については、一般の群拡大を対象に研究を進めているところである。いずれも当初の想定より時間がかかっており、今年度の段階では、まだ十分な成果があがっていない。
Strategy for Future Research Activity	指数型可解リー群の群環の表現の解析については、引き続き中心を法とする行列要素のLp評価と群環の＊正則性の関係を調べる。Lpフーリエ変換のノルム評価については、一般の群拡大を対象にして本年度行った研究内容を発展させる。指数型可解リー群の複素解析的誘導表現については、群の既約表現の半不変一般ベクトルに付随する行列要素の解析を進める。2023年度は表現論・調和解析関連の国際研究集会に出席し、研究発表・研究交流を行う計画である。