Asymptotic analysis of vanishing diffusion in dynamic boundary conditions
| Project/Area Number |
21K03309
|
|---|
| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
|
| Allocation Type | Multi-year Fund |
|---|
| Section | 一般 |
|---|
| Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
|
|---|
| Research Institution | Kyoto University of Education |
|---|
Principal Investigator |
深尾 武史 京都教育大学, 教育学部, 教授 (00390469)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
赤川 佳穂 岐阜工業高等専門学校, その他部局等, 講師 (20881650)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
|
| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
|
| Budget Amount *help |
¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000)
Fiscal Year 2024: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
|
|---|
| Keywords | 動的境界条件 / 非線形発展方程式 / 発展方程式 / カーン・ヒリアード方程式 / 粘性消滅法 / 境界拡散 / 偏微分方程式 |
|---|
| Outline of Research at the Start |
Cahn-Hilliard方程式系やAllen-Cahn方程式は相分離/相転移現象を記述し、質量保存則やエネルギー保存/散逸性を持つ偏微分方程式としてよく知られている。しかし、境界条件については主たる方程式を解くための補助条件として、自然な条件の1つであるNeumann境界条件の下での研究が主流であった。本研究では境界条件を補助条件と見なさず、境界上での別の系と見なして境界上での発展系も考察するという視点から境界値問題を捉える。時間微分/境界拡散の有無が持つ意味を数値化しようという発想の下、その強弱の表現に関数空間の指数を用い数学の高い表現力/汎用力を裏付けることを目指す。
|
| Outline of Annual Research Achievements |
動的境界条件下でのCahn-Hilliard方程式には境界条件の入り方によって複数のモデルがある。特に2011年に提唱されたGoldstein-Miranville-Schimpernaモデルや2019年に提唱されたLiu-Wuモデルを対象として、境界上の拡散および単調項の係数に対してゼロ極限移行による前方後方拡散方程式への接近を考察した。一般に前方後方拡散方程式は非適切な問題としてよく知られているが、動的境界条件では境界条件に時間微分が入り、境界上でも内部と同種の偏微分方程式が考察できる。そのため、内部の方程式が前方拡散である場合に、境界上で一見すると非適切に見える前方後方拡散方程式が適切となることが確認された。
まず、Goldstein-Miranville-Schimpernaモデルにおいて粘性消滅の議論を行った。境界拡散項の消失によって、解の正則性が失われるが、境界方程式の弱い意味での解釈によって弱解の存在が証明された。また、連続依存性や極限操作に関する誤差評価を得た。次に、内部と境界の単調項に増大条件の仮定を追加で課すことによって、前述の解の弱い意味が改善され、変分不等式として特徴付けられている式が方程式として解釈できる改良定理を得た。
次に、Liu-Wuモデルに対しても同様の課題に取り組み、同様の各種定理を得た。前述のモデルと比べLiu-Wuモデルでは境界方程式から法線方向微分の項が独立して斉次Neumann境界条件となるため、前方後方拡散方程式と解釈するのに、より明瞭な方程式となった。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Cahn-Hilliard方程式において、境界拡散の粘性消滅によって、2階の非線形拡散方程式に接近できること、すなわち適切性の証明が極限操作によって証明できることや、その誤差評価については研究代表者の先行研究によって得られていた。その後、同様の着想で前方後方拡散方程式への接近に関する研究が近年なされ、その着想をGoldstein-Miranville-Schimpernaモデルにおいても適応できるのではないかとの予想に至った。弱い解の存在についてはある程度予想通りの結果が得られたが、単調項の増大条件によっては解の意味が改良できる点は、研究が順調に進展していると判断できる。また、Liw-Wuモデルにも同様の結論が得られた点も研究の進捗が順調であると判断できる。
|
| Strategy for Future Research Activity |
動的境界条件下のCahn-Hilliard方程式で考察された粘性消滅では、内部が4階、境界が2階の境界での前方後方拡散方程式となる。適切性が得られる要因として内部の方程式が4階であることが、関連しているようにも見えるが、内部2階、すなわちAllen-Cahn方程式と境界での前方後方拡散方程式との連立系でも同様の結論に至るのかが新たな問題として登場した。今後の研究として、Allen-Cahn方程式とCahn-Hilliard型の動的境界条件から同様の粘性消滅が議論できるのかを明確にする課題に取り組む。
|
Report
(2 results)
Research Products
(17 results)
