Lie 群構造をもつ非線形発展方程式の可解性の解明

Research Project

Project/Area Number	21K03333
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
Research Institution	Daido University
Principal Investigator	岡康之大同大学, 教養部, 准教授 (70625079)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	平山浩之宮崎大学, 教育学部, 准教授 (90748328)
Project Period (FY)	2021-04-01 – 2025-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help	¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000) Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000) Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000) Fiscal Year 2021: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Keywords	stratified Lie groups / 半線形熱方程式 / 初期値問題 / minimal regularity / stratified Lie 群 / 時間大域解 / 小さな初期値 / ソボレフ空間 / 一意存在性 / 非線形熱方程式 / 非線形発展方程式 / 局所可解性
Outline of Research at the Start	本研究の目的は、非線形発展方程式の持つ Lie 群構造とその可解性にはどのような関係があるのかを解明することである。本研究で対象とする Lie 群は連結かつ単連結ベキ零 Lie 群の典型例である stratified Lie 群を設定し、それに付随する変数係数を持つ非線形熱方程式と非線形シュレーディンガー方程式の初期値問題を考察する。stratified Lie 群上のソボレフ空間に初期値を持つそれぞれの解が時間局所的に一意存在するための条件を解明することを目指す。
Outline of Annual Research Achievements	本研究課題はstratified Lie 群（以下SLG）の性質が偏微分方程式の解の性質に対し、どのように関係しているのかを解明することを目的にしている。本研究期間2年目までに得られた結果は、SLGに付随する半線形熱方程式の初期値問題に対するソボレフの尺度劣臨界の空間における局所解の一意存在性に関する結果、および、十分小さな初期に対するソボレフの尺度臨界の空間における大域解の一意存在性に関する結果である。ただし、非線形項はベキ乗型である。これらの結果は、ユークリッド空間におけるRiabudの結果をSLGへ拡張するものであった。 SLGの特性の１つである伸縮変換（dilation）に関する非等方性の情報は等質次元の中に組み込まれ、ソボレフの尺度臨界指数として現れる。このことから、ユークリッド空間のときと同様にSLG上においてもソボレフの尺度臨界指数が局所解の存在と一意性の両方を保証するための正則性に関する最小の条件であることが予想される。そこで本研究の3年目は、この予想の解明を試みた。その結果として、SLGに付随する半線形熱方程式の初期値問題に対し、任意の尺度劣臨界指数のソボレフ空間における局所解の一意存在を得ることができた。特にソボレフの尺度臨界指数が負の場合、我々が得た結果は、ユークリッド空間の場合においてはRiboudの結果を改良したものになっている。この結果をまとめた論文を現在準備中である。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason 本研究期間３年目で得られた結果は、ベキ乗型の非線形項をもつSLGに付随する半線形熱方程式の初期値問題において、ソボレフの臨界指数が解の一意存在を保証するための最小の指数であることを示唆している。これを示すためには、ソボレフの尺度優臨界のときに解の一意性が成り立たない場合があることを示す必要がある。残念ながら、３年目までにこのことを示すことが出来なかったため、研究期間を一年延長し、その解明に努めたい。
Strategy for Future Research Activity	本研究期間の４年目は、ソボレフの尺度優臨界の場合にベキ乗型を非線形項にもつSLGに付随する半線形熱方程式の初期値問題に対し、その解の性質がどのようなものになるのかを考察していく。ユークリッド空間における結果から、解の一意存在が成り立たない場合があることが予想される。このことを示せれば、一般のSLGの場合でも解の一意存在を保証する最小の指数がソボレフの尺度臨界指数であることが示される。また、最近、我々の研究により、SLGに付随するストリッカーツ評価、特に階数２の典型例であるH型群におけるストリッカーツ評価に関するHierroによる先行結果の条件に誤りがあることが判明し、その条件の修正を行った。そこで、修正された条件下でのストリッカーツ評価を用いて、SLGに付随する半線形シュレディンガー方程式の初期値問題の解の一意存在の解明も試みる。SLGに付随する半線形シュレーディンガー方程式の初期値問題の解の性質の解明も試みる。