A numerical method for stochastic differential equations for interest rate modeling and regulation after the global financial crises of 2007-2008

Research Project

Project/Area Number	21K03365
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 12040:Applied mathematics and statistics-related
Research Institution	Tokyo Institute of Technology
Principal Investigator	二宮祥一東京工業大学, 理学院, 教授 (70313377)
Project Period (FY)	2021-04-01 – 2024-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2022)
Budget Amount *help	¥2,210,000 (Direct Cost: ¥1,700,000、Indirect Cost: ¥510,000) Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000) Fiscal Year 2021: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Keywords	数理ファイナンス / 確率論 / 確率微分方程式 / 弱近似 / xVA / 前進後退型確率微分方程式 / 高次弱近似
Outline of Research at the Start	本研究の目的は2007-2008 年に全世界を襲った世界金融危機(所謂リーマンショック) の後の金融市場における資産価格モデルおよびXVA と呼ばれる一群のリスク指標の高速な計算手法の開発である. (1) 確率的ボラティリティを持つ短期金利モデル, および(2) XVA の計算の為の前進後退型確率微分方程式(FBSDE), の二つの弱近似計算問題を高次弱近似手法と離散近似測度の構成によって行う.
Outline of Annual Research Achievements	リーマンショックによる金融危機後に重要となった、短期金利モデルの任意の2点間の短期金利曲線の積分の期待値の計算とそれに依存するxVAと呼ばれるリスク指標の高速計算に資する数値計算手法の一つとして, 10年程前にLyons-Littererによって提案された再結合測度法と呼ばれる手法と、申請者が過去に考案したKLNV法と呼ばれる高次弱近似アルゴリズムを組み合わせたものを提案しようというのが我々のプログラムである. 本年は以下の結果を得た. [1]離散KLNV法によって生成した離散測度を再結合測度法によって測度の能率を保ったままその台の個数を減少させるというアルゴリズムを開発した. [2] 前述のアルゴリズムを実際のファイナンスに現われる確率的ボラティリティモデルの下での資産価格計算に適用してその数値例を得た. [1]については, KLNV法によって構成される有限台の高次近似測度(高次の能率まで標的測度と一致している離散測度)に測度再結合法を適用するという操作を反復することで最終的な測度を得るが, この最終的な測度の台の個数が多項式増大でありながら高次近似の條件をみたす様にする新しい條件(以下パッチ條件と呼ぶ)を発見した. このパッチ條件は再結合の際に対象とする測度を有限個の部分測度に分解する方法をの構成にも資するものであり, 理論的のみならず実務的な観点から意義がある. またこの分解の具体的な手法もここで新しく開発した. この分解は確率過程の空間次元が2以上の場合には非自明であり, 有効な方法はこれまで知られていなかった. 我々は測度の台の集合の主成分軸に垂直な超平面での分割をパッチ條件が満されなくなる迄再帰的に行なうという方法でこれを解決した. この方法は空間次元が2以上の場合に自然に適用可能である. [2]については未だ開始したばかりの段階で実用的な精度の計算結果を得た.
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 数値アルゴリズムの開発という点に於いては当初の方針に沿ったものを具現化して実際に実務的な例に適用するところまで行っており、予定を超える進捗を得た。実際に具体例を計算したところ、事前の予想とは異なる現象に遭遇している。この現象は本計画の近似理論では捕えられないものであり、論文を発表する為にはここの理論的解明が重要であると考えている。具体的には、我々が開発した誤差の理論評価式では計算誤差が悪化する筈の状況に於いても、離散KLNV法と再結合測度法による我々のアルゴリズムの計算誤差は悪化しない場合が多く、これは誤差評価関数にまだ甘い部分がある可能性と、対象となる課題に何かの特徴がある可能性とがあり、それを見付けることは重要な課題である。この部分は当初の計画には無かったものであり、その点で新たな課題が発生したと考えられる。以上の様に当初の計画で考えていた部分については予定を超える進捗があったが、新たな課題も発見されているが、全体としては順調に進展していると言うことができる。
Strategy for Future Research Activity	(1)計画当初に考えていた「離散KLNV法と測度の再結合法の組み合わせによる高次弱近似法」の開発には成功し、その過程で、理論的には存在するものとして議論されてきたが実際の計算においてはその構成が計算の鍵となるパッチの構成方法を見付けることができたので、この部分を2023年1月の英国での研究集会で報告した。この結果を中心に論文にまとめるとともに本年の2023年8月の国際会議で発表する予定である。 (2)ここで開発した計算手法は当初考えていた対象を超えて他の重要な計算課題に適用できる可能性があると考えられる。それを追求したい。