| Project/Area Number |
21K03403
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 13010:Mathematical physics and fundamental theory of condensed matter physics-related
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
西野 友年 神戸大学, 理学研究科, 准教授 (00241563)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
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| Keywords | テンソルネットワーク / エンタングルメント / 数値解析 / 木構造 / 繰り込み群 / 自動最適化 / エネルギースケール / フラクタル / 木構造ネットワーク / 構造最適化 / 波動関数 / 確率密度関数 / 枝の組み換え / 縮約 |
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| Outline of Research at the Start |
テンソルネットワーク形式は、量子物理系の波動関数や統計物理系の確率密度関数を、局所的なテンソルの縮約で表現するものである。系の特徴をうまく捉える、自然な形のネットワーク形状が探し出せれば、少ない自由度のテンソルを用いて状態を効率よく表現することができる。本研究では量子系のあらゆる２分割を考慮し、対応するエンタングルメント・エントロピーを指標として、最適なネットワーク構造を自動的に決定する計算手法を開発して行く。特に、直交性が担保された木構造ネットワークに着目し、実空間繰り込み群の描像に基づく計算アルゴリズムの開発にあたる。フラクタル格子上の古典統計系についても、臨界現象の解明を進めていく。
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| Outline of Annual Research Achievements |
３脚テンソルや４脚テンソルなどを網の目のように接続して局所的な縮約を行うことにより、統計物理系の確率密度関数や量子物理系の多体波動関数の精密な数値表現を目指すテンソルネットワーク形式は現在も発展の途上にあり、その応用範囲を急速に広げている。現実的な計算機リソースの下で、解析対象である系の持つ物理量を高い精度で得るには、まず系自身の特徴をうまく捉えた「自然な形のネットワーク形状」を設定する必要がある。本研究の目的として挙げた課題のうち、量子系のあらゆる２分割を考え、対応するエンタングルメント・エントロピーを指標として、最適なネットワーク構造を自動的に決定する目標への第一歩として、ツリーテンソルネットワーク、つまり３脚テンソルの接続により２分木の構造を持つテンソルネットワークを考慮して、数ある枝分かれのパターンの中から、木構造のボンドに対応するエンタングルメントの最大値が最小となる全探索からまず研究を開始した。量子系の波動関数が予め与えられている場合、全探索は確実ではあるが、枝分かれの場合の数が系のサイズNに対して階乗的に、つまり指数以上の速さで増加することから、現実的な選択肢としてある程度までボンドエンタングルメントの最大値が抑えられるような１パス（反復なし）の計算アルゴリズムを開発し、学内外の共同研究の下で実装した。次のステップとして、テンソルネットワークの応用では一般的な状況として、量子系の波動関数が格納できない場合について、まずは適当な値の初期テンソルとその結合を与え、エネルギー期待値が下がるようにそれぞれのテンソルの要素を繰り返し改良しつつ、木構造を形成するテンソルの結合についてもエンタングルメントが下がるよう組み替えて行く計算アルゴリズムを考え、外部研究者との共同研究の下でこれを実装した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
テンソルネットワークは機械学習にも広く応用されている。Stoudenmireらが行列積状態を使い、手書き数字の自動判別を行なった研究は特に有名である。その拡張として、木構造ネットワークを用いて、同じように自動判別を試みる研究はいくつか知られているが、木構造の枝分かれの自動的な最適化は、内外でようやく試み始められた所である。上述の、量子系に対する木構造の変分関数的な最適化は、手描き文字の判別にも応用でき、この場合には学習データセットに対するコスト関数が小さくるよう、テンソルをそれぞれ反復的に改善し、また、局所的なテンソルの結合組み換えを行なって行く。縦横１４ピクセルの手書き数字画像にのデータセットに対して計算を進めた所、得られる「より良い木構造の結合」が、初期に与えるテンソルの結合順番に強く依存することが判明した。Stoudenmireらのように、ジグザグな行列積状態から計算を始めると、その構造が後まで残ってしまう傾向があるのだ。フラクタル的な構造、例えばヒルベルト曲線に沿った行列積を初期条件として与えると、比較的コスト関数が抑えられることが判明している。もう一つの発展として、研究目的に掲げる「フラクタル格子上の古典統計系の臨界現象」については、従前より異常な熱力学的性質を示すことが知られているケイリー樹を、ループを持つように一般化した、階層を持つよう拡張された正方格子の上で定義されたイジング模型に着目し、その熱平衡状態の角転送行列繰り込み群手法による解析に着手した。その結果として、ケイリー樹では見られなかった全系の強磁性転移が起きることが判明している。これは、格子がループを持つ結果であると推測している。その強磁性転移に先立って、より高い温度でバルクの相転移が先に起きることはケイリー樹から受け継いでいた。系の境界では、相関関数が常にベキ的に減衰することも判明した。
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| Strategy for Future Research Activity |
ループを含むテンソルネットワークとして広く知られているマルチスケール・エンタングルメント繰り込み群ネットワーク（MERA）の構造最適化が、計算アルゴリズム上の次なる課題である。木構造はどのテンソルも対等であり、どこが中心ということはないのだけれども、MERAには中心があり、容易には組み換えができない。この難点を解消するために、まずMERAの中心を任意の場所へと移動するテンソルネットワークの変形について考えて行きたい。局所的な反復計算でこの移動を順次行なって行ける条件について、まず考えて行く予定である。ループを持った平面グラフ上の任意のテンソルネットワークについて、特定のボンドあるいはテンソルを中心とするMERAへと変形すること(MERAZE)の実行が、次いでクリアするべき課題となっている。さて近年では、テンソルネットワークの新たな応用方法として、画像データや時系列データなどを、その座標を２進数表現することによって、テンソルネットワークとして扱う方法が流体力学やグリーン関数評価などに用いられ始めている。データの構成方法に起因して、行列積を用いる解析が主流ではあるが、より一般的に木構造まで表現を広げた方が、より少ないテンソル要素の格納によって効率的にデータ表現できるであろうことは容易に推測できる。この方向へと、これまでに蓄積した計算アルゴリズムを応用して行くのも、今後の推進方策の有力な候補である。本研究を開始して３年の間に、量子基底状態を変化させないハミルトニアンの変形についても考察を行なって来た。本年は特に、高次元の多胞体上にスピンが配置された系の基底状態解析を行なった。超立方体格子上では奇数次元で励起にギャップがあり、自由フェルミ系が安定化されていることが判明している。より一般的な高次元格子への拡張を進めて行きたい。
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