| Project/Area Number |
21K13761
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
百合草 寿哉 東北大学, 理学研究科, 客員研究者 (00870148)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,550,000 (Direct Cost: ¥3,500,000、Indirect Cost: ¥1,050,000)
Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
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| Keywords | 団代数 / gベクトル扇 / オービフォールド / 遺伝的多元環 / 多元環の表現論 / Grothendieck群 |
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| Outline of Research at the Start |
有限次元多元環の加群構造の複雑さを分類する方法として、多元環の表現型というものが存在する。これにより有限次元多元環は、有限表現型、Tame表現型、Wild表現型という3種類に分けられる。近年多元環の表現論に導入されたτ傾理論において、有限表現型の類似として、τ傾有限型と呼ばれるクラスが存在する。本研究の目的はTame表現型の類似を与えることである。その候補の1つとして、g-tame型というクラスを導入し、Tame表現型多元環はg-tame型であることを示した。本研究では、g-tame型多元環の性質を与え、Tame表現型多元環の先行研究をg-tame型多元環に拡張する。
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究はgベクトル扇（g扇）が稠密になる団代数や多元環の研究である。本年度は、Felikson-Shapiro-Tumarkin（2012）によって導入された重み付きオービフォールドに付随する団代数（オービフォールド団代数）に対し、g扇の稠密性の研究を行った。具体的に、オービフォールドが境界を持たない閉曲面で穴が一つしかない（オービフォールド点を持つことは許す）場合に、g扇は特定の超平面による半空間を稠密に覆い、それ以外の場合にg扇は稠密になることを示した。それらの結果を論文としてまとめ発表した。証明のアイデアは、曲面に付随する団代数が稠密なg扇を持つこと、を示したときに用いた方法の一般化である。どちらの場合も、gベクトルは曲面上のラミネーションのShear座標を用いることで与えられる。このラミーネーションにデーンツイストを繰り返し作用していくことで、g扇に含まれていない格子点に限りなく近づくgベクトルの列を構成することができる。これにより、全ての格子点がg扇の閉方に含まれることが示され、g扇の稠密性が得られる。
有限変異型の（歪対称化可能）団代数はいくつかの例外型を除いて、オービフォールド団代数になることが知られており、本年度とこれまでの結果を合わせることで、5つの例外型団代数を除いて、稠密なg扇を持つ団代数の分類を与えることができる。
特に、オービフォールド団代数は歪対称団代数でないため、ヤコビ多元環による圏化が与えられていないクラスであり、g扇が対応する多元環を見つけることで、稠密なg扇を持つ新たな多元環のクラスが得られると期待される。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
多元環の表現論とは異なるが、深い繋がりのある団代数理論において、稠密なg扇を持つ新たなクラスを与えた。特に近年、gentle多元環の幾何学的実現や、向き付け不可能な曲面に付随する団圏が導入されるなど、様々な多元環の表現と幾何学的対象が関係付けられ、研究が盛んに行われている。今年度の研究は幾何学的側面が強く、上記の研究を通して様々な多元環に適用することで、稠密なg扇を持つ新たな多元環が得られることが期待されるため。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究で用いた幾何学的手法を、近年与えられた、様々な多元環の表現と対応する幾何学的対象に適用する。これにより、新たな多元環のg扇の稠密性を与える。また、Derksen-Fei（2015）によって導入された多元環のE-tame性がg扇の稠密性と一致すると期待しており、その方向性でも研究を行う。
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