組合せ論と解析的手法の融合による数論的ラムゼー型問題の研究
Project/Area Number |
21K13762
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Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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Allocation Type | Multi-year Fund |
Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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Research Institution | Aoyama Gakuin University |
Principal Investigator |
関 真一朗 青山学院大学, 理工学部, 助教 (70897719)
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Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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Budget Amount *help |
¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000)
Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
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Keywords | 等差数列 / 加法的整数論 / 素数 / ラムゼー理論 / constellations / arithmetic Ramsey theory / multiple zeta values / Green-Taoの定理 / Erdos-Turan予想 / 星座定理 |
Outline of Research at the Start |
素数に関する有名なGreen-Taoの定理を基本的な成果に持つ「数論的ラムゼー型問題」の分野において, 申請者を含む研究グループによってTaoの予想(=数体の素元星座定理)が解決されている. その際, 組合せ論を用いて証明される相対多次元Szemerediの定理が用いられ, 擬ランダム測度と呼ばれる概念が重要な役割を果たした. 本研究課題においては当該分野における重要未解決問題であるErdos-Turan予想およびその多次元化の解決を最終的な目標と掲げる. 組合せ論的手法や擬ランダム測度の理論を発展させ, 更にBloom-Sisask達による解析的手法と融合させることにより目標の達成を目指す.
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Outline of Annual Research Achievements |
今年度も当該研究内容の基盤をなす道具であるハイパーグラフ除去補題やその相対化、および相対多次元セメレディの定理についての整備を進め、プレプリント"Constellations in prime elements of number fields", arXiv:2012.15669で証明したノルム形式による素数表現に関する星座定理に関する理解を深めた上で、ノルム形式でない場合への一般化や必ずしも素数ではない疎な集合への相対セメレディの定理を適用することを模索する研究に着手した。具体的には青山数理セミナーで研究講演を行い、前年度に共同研究を行なっていたメンバーと新しい擬ランダム測度を構成するための討論を数回実施した。また、整備内容を単著の書籍の形にまとめた『グリーン・タオの定理』(朝倉書店)の完成を目指し、2023年1月に出版した。同時にもう1つの書籍である『せいすうたん1』(日本評論社)(小林銅蟲氏との共著)の完成も目指し、その第12話において2元2次形式の素数表現に関する星座定理や今後の研究課題について記載した。こちらは2023年4月に出版されることとなった。また、長さ3の等差数列の存在性については2020年にブルーム-シサスクによる大きな進展があったため、その手法を取り入れることが当該研究の目論見であったが、2023年2月にKelly-Mekaによって更なる革新的な進展が発表された。そのため、年度末は今後の研究においてケリー-メカの手法を取り入れる形での研究計画の練り直しを開始した。
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
書籍の執筆等の形での研究基盤の整備に当初の予想よりも大幅に時間がかかり、共同研究でのセミナーについても学ぶことが多く、研究成果を出すところまで中々辿りつかなかったため。
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Strategy for Future Research Activity |
これまでの準備に追加して、昨年度に出現したケリー-メカによる長さ3の等差数列に関する評価を得る手法の習得をまず目指す。その後、計画に照らし合わせて具体的な研究成果を出すことを目標に研究を実行していく。
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Report
(2 results)
Research Products
(9 results)