| Project/Area Number |
21K13783
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | NTT Communication Science Laboratories |
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Principal Investigator |
宮崎 弘安 日本電信電話株式会社NTTコミュニケーション科学基礎研究所, 基礎数学研究P, 主任研究員 (50799765)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
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| Keywords | 数論幾何 / モチーフ / モジュラス / コホモロジー / ホッジ・コホモロジー / モジュラス付きモチーフ / De Rham-Witt複体 / 相互層 / 構造層係数コホモロジー / Hasse-Arfの定理 / モジュラス付きモチーフ理論 / ホモトピー不変性 / 代数的サイクル / 代数的K理論 / K理論 |
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| Outline of Research at the Start |
数論幾何では、整数や素数の性質を、代数多様体と呼ばれる図形（幾何学的対象）の性質に置き換えて研究する。多くの場合、代数多様体の構造は非常に複雑で、そのままでは調べるのが難しい。そこでコホモロジー理論を用いた「線形近似」を行うのが現代数学の常套手段である。数論幾何には様々な種類のコホモロジーが現れるが、それらは全てモチーフという理論によって結びつくと考えられている。これまでの研究では、モチーフ理論全体を一般化することにより、従来の理論が抱えていた原理的な制約を克服することに成功した。本研究ではこの新しいモチーフ理論を駆使し、従来の理論では捉えられなかった数論的現象を探求することを目指す。
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| Outline of Annual Research Achievements |
モジュラス付きモチーフ理論の応用とさらなる基盤整備を目指して研究を推進し，下記の成果を得た．
(1)今年度は本研究計画全体の取りまとめの年度と位置づけ，研究成果を論文としてまとめ公表することに力を入れた．特に，昨年度に達成した構造層のコホモロジーの実現関手の構成について，査読付き国際論文誌から出版した．また同様に昨年度に達成したde Rham-Witt複体のモチーフ理論を用いた新たな構成についても，査読付き国際論文誌から出版した．
(2)さらにShane Kelly氏との共同研究で，Hodgeコホモロジーがモジュラス付きモチーフ理論で制御されることを証明した．またこの成果についてプレプリントを公開した．この結果を契機として，種々のコホモロジー理論をモジュラス付きモチーフ理論で表現する取り組みに複数の研究者が参入し，研究全体が更なる盛り上がりを見せつつある．
以上(1), (2)の成果により，本研究計画の当初の目標にはほぼ到達することができたと考えられる．
(3)また新たな研究の萌芽として，Bruno Kahn氏とともに「モジュラストリプル」の理論についてノートをまとめ公開した．これはモジュラス理論における双対性の定式化を企図したものである．これは本研究計画の当初の予定を超えた研究の進展であり，研究実施期間の範囲内で完了することは難しいと考えられるが，今後の理論的発展の基盤として引き続き探求を進める．
(4)また，国際ワークショップ「八ヶ岳ワークショップ 2023 on condensed mathematics」をオーガナイザーとして企画・開催した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
従来のモチーフ理論では捉えられなかった不変量の中でも特に重要な，構造層係数コホモロジー，Hodgeコホモロジー，de Rham-Witt複体がモジュラス付きモチーフ理論で制御可能であることを証明できたことは大きな進展である．またこれらの実績によって，モジュラス付きモチーフ理論の表現能力が保証されたことにより，周辺分野からのモジュラス理論への新規参入も増え始めており，本領域の研究がさらに活発化する契機となったことは今後の進展に向けた大きな成果といえる．
また，当初計画を超えて，モジュラス付きモチーフ理論の双対性の確立に向けた新たな試みについて，公開可能な形でまとめることもできた．これ自体は本研究の当初計画を超えているためどこまで進められるかは未知数だが，研究実施期間内に可能な限り進展させたい．
以上のように，当初の目的であった新たなコホモロジーの制御については計画通り進展しており，また当初計画を超えた理論基盤の整備も進行している．したがって本研究計画は当初の計画以上に進展している．
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| Strategy for Future Research Activity |
個々のコホモロジーをモジュラス付きモチーフ理論で制御できることが明らかにはなってきたものの，技術的な仮定として特異点解消の存在を用いている．正標数の体上では，特異点解消定理は証明されていないため，この仮定を取り除く形で理論を改善することは重要な課題である．これについては，対数的幾何学の手法を取り入れることで解消できるめどがたっており，研究を進めているところである．
また，モジュラス付きモチーフ理論の双対性については，現在の理論的枠組みでは双対性が一般的な形では存在しないことがわかっているため，これを双対性を許容するように拡張するという更なる一般化に向けて研究を進めたい．これについては申請者の博士課程における「有効とは限らない因子」を用いたモジュラス条件を，「有効な因子のペア」におきかえ，これと代数多様体の３つ組として「モジュラストリプル」を考えることが重要だと考えられる．モジュラストリプルの基礎的な理論についてはプレプリントを公開しているが，これに基づいて双対性を定式化するべく今後の研究を推進していく．
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