| Project/Area Number |
21K13787
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Niigata University |
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Principal Investigator |
折田 龍馬 新潟大学, 自然科学系, 助教 (30874531)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2025: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥390,000 (Direct Cost: ¥300,000、Indirect Cost: ¥90,000)
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| Keywords | Topological complexity / パーシステンス加群 / シンプレクティック多様体 / Morse理論 / Floer理論 / 4次元多様体 / ロボットモーションプランニング / 位相的複雑さ |
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| Outline of Research at the Start |
ロボットモーションプランニングとは，機械（ロボット）を，ある状態 A から別の状態 B へと連続的に動作させるアルゴリズムを構築することである。
Farber は，ロボットの全ての状態の空間（配位空間）X に対して位相的複雑さ (topological complexity) という整数を定義した。
位相的複雑さの計算は，ロボットの動作の不安定性の予測に役立てられる。
本研究では，シンプレクティック多様体の位相的複雑さの決定を目指す。
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| Outline of Annual Research Achievements |
Topological complexityは，ロボットモーションプランニングの問題意識から生まれた状態空間の位相不変量である。昨年度までは，4次元の本年度は球面状単調かトーラス状単調なシンプレクティック多様体に対して計算結果を与えた。本年度は，一般次元でも計算ができるための十分条件を与えた。内容は arXiv にて発表済みである。
また，位相的データ解析のパーシステンス加群の研究も行った。通常の（1パラメータの）パーシステンス加群は，各点有限次元であれば1次元のバーコードを持つ。しかし，一般のマルチパラメータのセッティングでは，常に高次元のバーコードを持つとは限らない。
本研究では，インターレベルのMorseホモロジーから定義される2パラメータのパーシステンス加群が，ブロック分解可能であることを示した。特に，ブロックからなる2次元バーコードを持つことを示した。そのシンプレクティック幾何学への応用として，非球面状なシンプレクティック多様体上のハミルトンベクトル場が，非可縮周期軌道を1つ持てば無限個もつことの既存の証明の新たな解釈を与えた。これはインターレベルのFloerホモロジーを用いたものである。本研究は小枝幹汰，矢代海音両氏（新潟大学）との共同研究である。内容は arXiv にて発表済みである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
2パラメータのパーシステンス加群のバーコードに関して，重大な結果が得られたため。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度は，インターレベルのMorseホモロジーから定義される2パラメータのパーシステンス加群が，ブロック分解可能であることを示した。ブロックは，無限の面積をもつ長方形である。一方で，有限の面積のバーコードをもつ2パラメータパーシステンス加群が，Floer型の理論から定義されるかは未解決である。今後は，そのことについて研究を深め，位相的データ解析において一定の成果を挙げることを目指す。
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