symplectic field theory の応用

• Project/Area Number: 21K13789
• Research Category: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 石川 卓 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (70845742)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2026-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2022)
• Budget Amount: ¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000); Fiscal Year 2025: ¥390,000 (Direct Cost: ¥300,000、Indirect Cost: ¥90,000); Fiscal Year 2024: ¥390,000 (Direct Cost: ¥300,000、Indirect Cost: ¥90,000); Fiscal Year 2023: ¥390,000 (Direct Cost: ¥300,000、Indirect Cost: ¥90,000); Fiscal Year 2022: ¥390,000 (Direct Cost: ¥300,000、Indirect Cost: ¥90,000); Fiscal Year 2021: ¥390,000 (Direct Cost: ¥300,000、Indirect Cost: ¥90,000)
• Keywords: symplectic field theory / contact homology

Outline of Research at the Start

Symplectic field theory (SFT)とは、contact 多様体やその間の symplectic cobordism に対する、Gromov-Witten 不変量や Floer homology に相当するものであり、その構成を私は行った。これを応用するためには SFT を計算、評価する方法を確立することが必要であるが、SFT 全体の計算は一般には非常に困難である。本研究はより現実的な手法として SFT そのものではなくそこから capacity 等のような、より情報の少ない不変量を定義し、その計算評価を用いて応用することを目指すものである。

Outline of Annual Research Achievements

本研究の最終的な目標は、symplectic field theoy や contact homology を具体的な contact 多様体に対して計算、評価する方法を手に入れることと、それを用いた応用の構築である。当該年度でも、引き続き、最も単純な contact 多様体の一つである球面の contact homology についてより詳細な計算を行った。標準的な球面の contact homology 自体は計算されており、contact 構造が同じならば contact form を変えても contact homology 自体は同型ではある。例えば標準的な contact form を ellipsoid に入れたもののも球面と contact 構造は同型だが、この場合には、ellipsoid の各周期解をそのまま contact homology の生成元として表示することができる。ellpipsoid の成分ごとの半径を変えればその新しい周期解たちにより球面の contact homology を表示できるが、ellipsoid の半径が異なれば、この表示が同じになるとは限らない。この表示の下で同型がどのように表示されるのかを現在も調べているところである。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

球面の contact homology 自体は単純に表示できるので、それらの間の関係も比較的単純に計算できるであろうと考えて研究を始めたが、実際に行ってみると想定よりも難しく、やや時間がかかっている。とはいえ研究は徐々に進んでいるので、もう少し時間をかければ解明できると思われる。

Strategy for Future Research Activity

ひとまずは、現在行っている球面の contact homology に関する計算を行う予定である。順序としてはまず異なる ellipsoid による表示同士の関係を計算し、そののちに球面の連結和の定める symplectic cobordism の contact homology の計算を行う予定である。これらが終了後、まずはこの計算結果の応用を研究する。その後はより一般の場合の contact homology や symplectic field theory の計算を行う予定である。