Noncommutative Geometry on fraclats and index theory
| Project/Area Number |
21K13795
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Meiji Pharmaceutical University |
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Principal Investigator |
瀬戸 樹 明治薬科大学, 薬学部, 講師 (90783093)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000)
Fiscal Year 2025: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
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| Keywords | 非可換幾何学 / フラクタル / 指数定理 / 粗幾何学 / Fredholm加群 / 自己相似集合 / 巡回コサイクル |
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| Outline of Research at the Start |
現在, A. Connesによって1980年代に創始された非可換幾何学は, Atiyah-Singer指数定理の対象を広げるために活発に用いられている. 例えば, 無限の広がりを持つ空間において, J. Roeは無限遠が2点である様なコンパクト化に対応する指数定理を非可換幾何学の枠組みで展開し, その手法を発展させて粗幾何学を展開した. 本研究では, Roeの定理を拡張することを目指す. 特に, 無限遠がフラクタルのような複雑性を持つコンパクト化に対応する指数定理を展開することを目指す.
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| Outline of Annual Research Achievements |
完備Riemann多様体Ｍを2つに分割する閉部分多様体Ｎが定まっており，その余次元は1とする．このとき，J. Roeによって分割の情報を用いた巡回コサイクルζが導入された．Roeや私などによって，このζを用いてＮ上の作用素のFredholm指数を引き出す指数定理が証明されている．本研究ではこのζを次のようなフラクタルが関わる状況で一般化することを目標としている．
N. Higsonによると，ζは2点コンパクト化に対応し，境界 (2点) の情報を引き出している. そこで，本研究では，複雑な境界，特にフラクタル的な構造をもつ境界によるコンパクト化を考え巡回コサイクルを定義し，境界の幾何的情報を取り出す指数定理を構築したい．そのためには，巡回コサイクルの段階的な一般化とフラクタル集合における非可換幾何学の理解が必要になる．
本年度は昨年に引き続き，丸山氏（NEC）と共同でフラクタル集合上の非可換幾何学について調べた．特に，以前丸山氏と共同で導入した，n次元立方体を基にする自己相似集合に対するFredholm作用素やその変種に注目し，Freholm作用素を用いてフラクタル集合上の非可換幾何学について研究した．今年度はn次元空間内のフラクタル集合の上にRiemann-Stieltjes積分を一般化することを目指し，その第一歩として3進Cantor集合における積分について詳しく調べた．さらに、その積分を区間内に実現された自己相似集合に対して一般化することも検討した．
また，昨年までに得た成果をまとめた論文の査読が終わり, 学術雑誌に掲載された．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
n次元内のフラクタルにおける解析に手間取り, 予定より時間がかかっているため.
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| Strategy for Future Research Activity |
解析に手間取ってはいるものの, 徐々に成果が出つつあるので, 今年度の研究を継続する.
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Report
(3 results)
Research Products
(5 results)
