Study of symplectic geometry and topological data analysis with sheaf theory
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21K13801
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Kyushu University (2023)
The University of Tokyo (2021-2022) |
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Principal Investigator |
池 祐一 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 准教授 (50850400)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
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| Keywords | 超局所層理論 / シンプレクティック幾何学 / パーシステンス加群 / 層量子化 / インターリービング距離 / ラグランジュコボルディズム / 位相的データ解析 |
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| Outline of Research at the Start |
シンプレクティック幾何学とパーシステントホモロジー理論は層理論との関わりが近年発見され，様々な定理が再証明・再解釈されている．本研究では層を方向別に解析できる超局所層理論と呼ばれる手法を用いて従来のシンプレクティック幾何学や位相的データ解析を超える枠組みを構築することを目指す．特に，特異性のあるラグランジアン間のエネルギー的距離・多次元パーシステント加群の理論・層係数のモース複体といった対象について超局所層理論の視点から調べる予定である．
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は，超局所層理論を用いたシンプレクティック幾何学の研究と層係数のモース複体について研究を行った．
まず，桑垣氏と共同で，余接束に関するNovikov環上の超局所圏および，完全とは限らないラグランジアンの層量子化の構成を行い，プレプリントをarXivに公開した．このプレプリントでは，構成した超局所圏および層量子化が，分離性定理・交叉点評価・インターリービング距離のハミルトン安定性・距離の完備性を持つことも示した．このトピックについては引き続き研究を行い，Weinstein多様体に拡張する予定である．
次に，浅野氏・Li氏と共同で，ラグランジュコボルディズムの影と層のインターリービング距離の間の不等式，およびラグランジュコボルディズムに付随する層量子化の反復錐分解を証明した．また，この分解に基づきコボルディズムに関するラグランジュ交叉の剛性を証明した．これらの結果はプレプリントとしてarXivに公開済みである．
また，ラグランジュ部分多様体の空間の完備化の元について，そのγ-supportが滑らかなラグランジュ部分多様体ならば完備化の空間で滑らかなラグランジュ部分多様体と等しいことを，共同研究を通して証明した．この証明は，昨年度得られた層量子化の簡約マイクロ台とγ-supportとの一致に基づく．加えて，構成可能層の層のモース複体を特定の状況で考察した．これらは今後論文にまとめる予定である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
層のインターリービング距離および層のモース複体に関して，順調に理解が進んでいると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
シンプレクティック幾何におけるheavy/superheavyといった概念を超局所層理論から研究する．余接束以外のシンプレクティック多様体に対する超局所圏の構成を試みる．層のモース複体についても離散と滑らかなクラスの間の翻訳を進めて，現在得られている結果を一般化する．
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Report
(3 results)
Research Products
(25 results)
