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Isometries on Banach algebras

Research Project

Project/Area Number 21K13804
Research Category

Grant-in-Aid for Early-Career Scientists

Allocation TypeMulti-year Fund
Review Section Basic Section 12010:Basic analysis-related
Research InstitutionNiigata University

Principal Investigator

大井 志穂  新潟大学, 自然科学系, 助教 (90891789)

Project Period (FY) 2021-04-01 – 2025-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2022)
Budget Amount *help
¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000)
Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
KeywordsJordan*同型写像 / 全射等距離写像 / リプシッツ環 / C*環 / 等距離写像 / Banach環 / バナッハ環
Outline of Research at the Start

Kadisonは単位的C*環の間の全射等距離写像を決定し,Banach-Stoneの定理の非可換化に成功した。単位的C*環の間の任意の全射等距離写像はJordan積の構造を保存することが知られている。一方,Wiener環をはじめとする多くのバナッハ環においてはこのようでなく,等距離写像が積の構造を保存するという現象は極めて特異的である。どのようなバナッハ環の間の全射等距離写像が積もしくはJordan積の構造を保存するのかを明らかにすることが本研究の目的である。

Outline of Annual Research Achievements

単位的$C^{*}$環に値をとるリプシッツ写像全体からなるバナッハ環上の全射線形等距離写像とJordan$*$同型写像の関係についての研究を行った。全射等距離写像は,前年度から引き続き,研究を継続した。単位的$C^{*}$環の中心が自明であるときは,単位的全射線形等距離写像の表現は一般化した荷重合成作用素で記述でき,その特徴づけを与えることができたが,一般の$C^{*}$環の場合はどのようになるかは分かっていない。
そこで,等距離写像と関係があるであろうJordan$*$同型写像を研究し, その式の表現を得た。そこではpure stateやGNS表現を用いることにより可能となり,結果として中心が自明である場合の結果に対する一般化を得た。この結果より,全射複素線形等距離写像の式の表現の予想を立てることができた。さらに,Jordan$*$同型写像であったとしても完全な特徴づけを与えることは,困難であることがいくつかの例を考察することを通して分かった。また,Jordan$*$同型写像の結果を得ることができたため,単位的$C^{*}$環に値をとる連続関数環・リプシッツ環上の順序を保存する順序準同型写像,同型写像の式の表現を得ることができた。これにより,単位的$C^{*}$環に値をとるリプシッツ環上の保存問題についての一般論を整備できた。
$C^{*}$条件を満たさないノルムが定義されたバナッハ環上の等距離写像の問題の解決を目指し,フーリエ環上の準同型写像の研究を開始した。また,等距離写像とそのスペクトルの関係について,昨年度に引き続きアメリカ,ヨーロッパの保存問題の研究者とともに共同研究として進めた。単位的$C^{*}$環の場合は,そのスペクトルの特徴づけを与えることができた。本研究は,論文としては未発表であるが,順次論文としてまとめ,発表していく。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

一般の$C^*$環に対して,それに値をとるリプシッツ写像のなすバナッハ環の間のJordan*準同型写像の式の表現を与えることができ,その結果その上の順序同型写像に関する結果も得られた。さらにこれらの結果を論文として発表することができた。$C^*$環に値をとる連続関数・リプシッツ関数のなすバナッハ環上の保存問題について包括的に眺めることができつつある。また,これらの結果について国内外数多くの場所で研究発表する機会を得ることができ,本研究の結果の普及をすることもできている。共同研究についても,これまではコロナの影響でZoom会議を通して行ってきたが,今年度は対面での研究打ち合わせを行うことができ,研究を大幅に進めることができた。論文として未発表のものもあるが,随時論文としてまとめ発表する。よって,順調に研究が進んでいると判断する。

Strategy for Future Research Activity

これまで通り,C*条件を満たさないノルムが定義されたバナッハ環上の保存問題に取り組み,解決のための研究を進めていく。リプシッツ環上の全射等距離写像の問題については,単位的という条件を外すことはできていない。この理由は技術的な困難性による。一方で,Jaroszによる全射等距離写像が積の構造を保存するための十分条件を与えた研究等を参考にすると,単位的の仮定を外しても同様に全射複素線形等距離写像が積の構造を保存するという予想を立てている。これについて詳しく調べたい。そのためには,技術的な困難を乗り越えるために,新たな全射複素線形等距離写像を決定するための新たな手法の導入が必要になる。よってまずは,ほかのC*条件を満たさないノルムが定義されたバナッハ環上の全射等距離写像の研究も進める。とくに,最近研究を開始したフーリエ環はそのよい対象である。その研究から得られた知見をもとにリプシッツ環上の全射等距離写像の研究を進めたい。全射複素線形等距離写像がどのような条件の下で積の構造に言及するか,その様子について研究を進める。この目的の遂行のため,国際的な研究交流をより進めていきたい。フーリエ環上の代数構造と群構造の関係が,共同研究により少しずつ分かってきている。研究代表者と研究協力者と知見を共有し,本研究をより発展させていく。

Report

(2 results)
  • 2022 Research-status Report
  • 2021 Research-status Report
  • Research Products

    (24 results)

All 2023 2022 2021 Other

All Int'l Joint Research (6 results) Journal Article (2 results) (of which Peer Reviewed: 2 results) Presentation (15 results) (of which Int'l Joint Research: 5 results,  Invited: 9 results) Funded Workshop (1 results)

  • [Int'l Joint Research] University of Memphis/Harvard University/University of South Florida(米国)

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      2022 Research-status Report
  • [Int'l Joint Research] Queen’s University/University of Kent(英国)

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      2022 Research-status Report
  • [Int'l Joint Research] University of Zagreb(クロアチア)

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      2022 Research-status Report
  • [Int'l Joint Research] Queen’s University Belfast/University of Kent(英国)

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  • [Int'l Joint Research] University of Memphis/Harvard University/University of South Florida(米国)

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      2021 Research-status Report
  • [Int'l Joint Research] University of Zagreb(クロアチア)

    • Related Report
      2021 Research-status Report
  • [Journal Article] Jordan $*$-homomorphisms on the spaces of continuous maps taking values in $C^*$-algebras2023

    • Author(s)
      Oi Shiho
    • Journal Title

      Studia Mathematica

      Volume: 269 Issue: 1 Pages: 107-119

    • DOI

      10.4064/sm220210-19-6

    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Tingley's problems on uniform algebras2021

    • Author(s)
      Hatori Osamu、Oi Shiho、Shindo Togashi Rumi
    • Journal Title

      Journal of Mathematical Analysis and Applications

      Volume: 503 Issue: 2 Pages: 125346-125346

    • DOI

      10.1016/j.jmaa.2021.125346

    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] C*環に値をとる連続写像のなすバナッハ環上の 等距離写像2023

    • Author(s)
      大井 志穂
    • Organizer
      第8 回山陰基礎論と数学およびその周辺の研究集会
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      2022 Research-status Report
  • [Presentation] 行列値リプシッツ環上の 全射線形等距離写像の代数的反射性2023

    • Author(s)
      大井 志穂
    • Organizer
      2023年 日本数学会年会
    • Related Report
      2022 Research-status Report
  • [Presentation] Jordan *-homomorphisms on *-algebras of vector-valued continuous maps2022

    • Author(s)
      Shiho Oi
    • Organizer
      Operators on Banach algebras and related topics
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      2022 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] C*環に値をとる連続写像のなすバナッハ環上の保存問題2022

    • Author(s)
      大井 志穂
    • Organizer
      第69回トポロジ―シンポジウム
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      2022 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] C*環に値をとるリプシッツ環上のJordan* 準同型写像2022

    • Author(s)
      大井志穂
    • Organizer
      日本数学会 2022年度秋季総合分科会
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      2022 Research-status Report
  • [Presentation] 2-local isometries on commutative Banach algebras2022

    • Author(s)
      Shiho Oi
    • Organizer
      Women in Operator Theory
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      2022 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Kowalski-S\l odkowskiの定理と2-local等距離写像2022

    • Author(s)
      大井 志穂
    • Organizer
      第 6 回幾何学的群論ワークショップ
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      2022 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] C*環値リプシッツ環の間の Jordan* 同型写像とその応用2022

    • Author(s)
      大井 志穂
    • Organizer
      2022 年度 関数環研究集会
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  • [Presentation] C*環に値をとるリプシッツ関数のなすバナッハ環上の等距離写像2022

    • Author(s)
      大井 志穂
    • Organizer
      第11 回信州関数解析シンポジウム
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    • Invited
  • [Presentation] Surjective isometries and Hermitian operators on vector-valued Lipschitz algebras2022

    • Author(s)
      Shiho Oi
    • Organizer
      2022 Japan-China International Conference on matrix theory with applications
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    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Surjective isometries on Banach algebras of Lipschitz maps taking values in a unital C*-algebra2021

    • Author(s)
      Shiho Oi
    • Organizer
      the 8th European Congress of Mathematics-8ECM, Minisymposum: Recent Developments on Preservers
    • Related Report
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    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] C*環に値をとるリプシッツ環の間の等距離写像2021

    • Author(s)
      大井志穂
    • Organizer
      第60 回実函数論・函数解析学合同シンポジウム
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      2021 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] Surjective linear isometries on unital C*-algebra valued Lipschitz algebras2021

    • Author(s)
      Shiho Oi
    • Organizer
      Research on preserver problems on Banach algebras and related topics
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      2021 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] リプシッツ写像のなすBanach 環の距離構造と代数構造2021

    • Author(s)
      大井志穂
    • Organizer
      2021年度ジェネラルトポロジーシンポジウム
    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] C*環に値をとる連続写像のなすバナッハ環上のJordan* 同型写像2021

    • Author(s)
      大井志穂
    • Organizer
      2021年度関数環研究集会
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      2021 Research-status Report
  • [Funded Workshop] Research on preserver problems on Banach algebras and related topics2021

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      2021 Research-status Report

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Published: 2021-04-28   Modified: 2023-12-25  

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