| Project/Area Number |
21K13808
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 12010:Basic analysis-related
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
渋川 元樹 神戸大学, 理学研究科, 特命助教 (60737740)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
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| Keywords | 特殊函数 / 対称函数 / 可積分系 / 調和解析 / q差分方程式 / 表現論 / 特殊値 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究では、対称函数、その中でも特に重要なJack多項式やMacdonald多項式、あるいはその補間多項式のPieri型公式や特殊値公式といった「基本公式」の発見、研究を行う。またそれらの「基本公式」を応用し、より広範の多変数特殊函数についての研究も併せて行う。
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和5年度は主に次の3つの研究を行った：1) Zwegers \mu 函数及び我々が導入した一般化 \mu 函数のq超幾何函数の観点からの研究、2) 一変数の可約なq差分方程式系とその解析の研究、3) \mu 函数の多変数化(対称函数化)についての研究。これらはいずれも令和4年度に引き続き \mu 函数関連のトピックスであり、土見怜史氏(神戸大学)との共同研究である。より詳細は以下の通り。
1) q差分方程式系の解析を主題とした以前の Shibukawa-Tsuchimi (SIGMA 2023) の研究の際に見落としていたq超幾何函数、特に Slater の変換公式(Selberg 型の Jackson 積分の接続公式の simplest examples)の観点から一般化 \mu 函数の研究を行った。またこれらを用いて、Zwegers \mu 函数及びその特殊化として得られる Ramanujan の mock テータ函数の新しい表示も導出した。
2) Zwegers \mu 函数が一般化 \mu 函数が満たす q-Hermite-Weber 方程式の可約性から特徴付けられることから、より一般な可約なq差分方程式系の研究を行った。特にその基本解を構成し、接続公式を導出した。
3) \mu 函数の解析において重要なツールとなった q-Borel 変換と q-Laplace 変換をうまく反復して, \mu 函数の良い多変数化(より強く対称函数化)を構成し、その基本的性質、特にモジュラー変換性も発見した。更にこの枠組みを拡張することで、一般化 \mu 函数の多変数化にも成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
令和5年度は申請者及び共同研究者の体調不良、病気による長期療養等の事情が重なり、当初の研究計画に関して遅れが生じた。他方、\mu 函数関連については特殊函数、可積分系、数論等の様々な分野で興味を持たれ、それに関して多くの招待講演の機会を得た。更に昨年度に引き続き、可約なq差分方程式や多変数化等の進展も得られた。
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| Strategy for Future Research Activity |
体調不良や病気療養等で滞った令和5年度の研究計画を再開する。また令和5年度に様々な進展があった \mu 函数関連の研究も、対称函数化に成功しているので、既に本研究の一部に昇華している。そこで \mu 函数関連の q 差分方程式や q 超幾何の研究も引き続き行っていく。
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