葉層付き空間上の各葉拡散過程の確率解析的研究

• Project/Area Number: 21K13810
• Research Category: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Basic Section 12010:Basic analysis-related
• Research Institution: Kumamoto Gakuen University (2023); Kumamoto University (2021-2022)
• Principal Investigator: 須崎 清剛 熊本学園大学, 商学部, 講師 (90793349)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2026-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥4,680,000 (Direct Cost: ¥3,600,000、Indirect Cost: ¥1,080,000); Fiscal Year 2025: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
• Keywords: 確率解析 / 葉層付き空間 / 各葉拡散過程 / 確率流 / ラフパス理論

Outline of Research at the Start

曲面上の様々な点から出発する微分方程式の解の軌道は，その曲面の複雑な分割を与える．より一般に，葉と呼ばれるいくつもの多様体によって複雑な分割が与えられている空間は，葉層付き空間と呼ばれる．また，その上の葉に沿ってランダムに動き回るある種の粒子の運動は，各葉拡散過程と呼ばれ，葉層付き空間の研究において重要な確率過程である．本研究ではユークリッド空間および多様体上の拡散過程に対する確率解析的手法を発展させ，葉層付き空間上の各葉拡散過程へと適用する．

Outline of Annual Research Achievements

本研究の主目的は、Euclid空間や多様体上の確率解析から、葉層付き空間上の確率解析へと発展させ、とくに葉層付き空間上の確率流の構成とその性質を明らかにすることである。その目的達成のために今年度取り組んだ研究の概要は以下である。
(i)前年度に引き続き、葉層付き空間上で葉に沿ったセミマルチンゲールベクトル場が定める一般化された確率微分方程式を導入し、その解の構成と一意性、その解が誘導する確率流の葉を横断する方向の出発点に関する（確率）連続性の検証を進めた。本問題で考えるセミマルチンゲールの局所特性量は、局所的にEuclid空間と抽象的な距離空間と2つのパラメータ集合をもつものとなるが、前者と後者でそれぞれLipshitz連続性と確率連続性を組み合わせた滑らかさを考える必要があり、取り扱いが難しい問題となる。そのため、本問題に対しては取り扱うセミマルチンゲールを少し特別な性質をもった葉に沿ったベクトル場値のBrown運動に制限し、検証を進めることがよいという結論に至った。このBrown運動の局所特性量は、Euclid空間や多様体上の場合の先行研究を踏まえると非ランダムなものになることが予想され，先述の確率連続性の問題から難点を一部取り除くことができると見込まれる。
(ii)前年度に続き(i)の補完として計画していた、ラフ微分方程式が定めるラフ流の葉層付き空間版の構成について、必要な資料収集と考察を行った。しかし、まだまだ手法の理解や検証に時間がかかるため、次年度も引き続き行う。
(iii)目的の確率流の構成や特徴付けはまだ得られていないが、本研究の最終段階に計画している葉層付き空間上の確率流の応用のため、同時進行で関連する葉層構造理論やエルゴード理論、ランダム力学系理論の様々な手法に関する資料収集を行った。これらについても次年度引き続き行う。

Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

当初の計画では、現時点で葉層付き空間上の一般化された確率微分方程式に付随する横断方向に確率連続な確率流の構成とその特徴付け、さらにはそのラフパス理論的な観点からの一部理解が得られている予定であったが、残念ながら未達成のため、遅れていると判断する。

Strategy for Future Research Activity

葉層付き空間上の葉に沿ったセミマルチンゲールベクトル場が定める一般化された確率微分方程式に対して、その解の構成と一意性、その解が誘導する確率流の葉を横断する方向の出発点に関する確率連続性については、セミマルチンゲールの局所特性量に強い有界性や連続性、さらにはBrown運動であることも仮定し、証明を試みる。葉層付き空間上のラフ微分方程式が定めるラフ流の構成についても、必要に応じてある程度よい性質を仮定して、検証を進める．所望の確率流が得られた際に速やかに応用できるよう、関連分野の資料収集と手法理解も進め、計画の遅れの取り戻しを図る。