| Project/Area Number |
21K13814
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
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| Research Institution | Saitama University |
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Principal Investigator |
高橋 悠樹 埼玉大学, 理工学研究科, 助教 (70897769)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,550,000 (Direct Cost: ¥3,500,000、Indirect Cost: ¥1,050,000)
Fiscal Year 2025: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
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| Keywords | 反復関数系 / ランダムウォーク / Attractor / Lyapunov exponent / random matrix products / uniform hyperbolicity / Quasiperiodic cocycle / Furstenberg measure / Bifurcation current |
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| Outline of Research at the Start |
量子ホール効果の研究に現れる、Almost Mathieu operator と呼ばれる重要な方程式が存在する。今日ではこの方程式のスペクトルはカントル集合となることが知られている。この問題の一般化について研究したい。すなわち、遥かに一般化された条件の元で、スペクトルに対応する量がいかなるときにカントル集合になるか、またどのような性質をもつカントル集合になるか、ということを解明したい。
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| Outline of Annual Research Achievements |
1) 有限個の実数上の縮小写像の組は反復関数系とよばれる。反復関数系とそれに対応する確率ベクトルが与えられたとき、実数上に不変測度と呼ばれる測度が自然に定義されることが知られている。反復関数系の拡張である nonautonomous な反復関数系とは、無限個の縮小写像の組のことである。この場合にも、不変測度に対応する測度が存在する。今年度の研究では、1パラメータに依存する nonautonomous な反復関数系を考え、ほとんどすべての場合にその不変測度が満たす次元公式を得た。また、ほとんど全ての場合にその測度が絶対連続になる十分条件をえた（中島由人氏との共同研究）。
2) 有限個の行列の組を与えたとき、円周上に attractor が定義できる。行列の組がある種の separation を持つとき、この attractor の次元公式が知られている。今回の研究では、行列の組に逆元が存在する場合においても、同様の次元公式が成立することを示した。
3) 反復関数系を拡張である、tree 上の反復関数系を定義しその性質を考察した。Tree 上でのランダムウォークを考え、そのランダムウォーク の exiting measure という測度を定義した。1パラメータに依存するそのような測度を考え、ほとんど全ての場合にその測度が満たす次元公式をえた。また、その測度が絶対連続になる十分条件をえた。これは、上の 1) の拡張である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の予定は、1パラメータに依存する Furtenberg measure の絶対連続性を示すことだった。これは、ある条件下においてはほぼ証明することができた。研究を進める中で、一般の場合にこの問題を完全に解決することは非常に困難であることがわかり、現在は Furtenberg measure と関連する他の複数のプロジェクトに取り組んでいる。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、Furtenberg measure と関連するプロジェクトについて研究したい。具体的には、縮小写像が線形である場合の反復関数系の拡張を考え、その次元公式を証明したい。また、縮小写像が線形でない場合にも、別の拡張を考えその次元公式を証明したい。
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