パラメータに依存する Furstenberg measure の絶対連続性
Project/Area Number |
21K13814
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Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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Allocation Type | Multi-year Fund |
Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
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Research Institution | Saitama University |
Principal Investigator |
高橋 悠樹 埼玉大学, 理工学研究科, 助教 (70897769)
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Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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Budget Amount *help |
¥4,550,000 (Direct Cost: ¥3,500,000、Indirect Cost: ¥1,050,000)
Fiscal Year 2025: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
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Keywords | Lyapunov exponent / random matrix products / uniform hyperbolicity / Quasiperiodic cocycle / Furstenberg measure / Bifurcation current / 反復関数系 |
Outline of Research at the Start |
量子ホール効果の研究に現れる、Almost Mathieu operator と呼ばれる重要な方程式が存在する。今日ではこの方程式のスペクトルはカントル集合となることが知られている。この問題の一般化について研究したい。すなわち、遥かに一般化された条件の元で、スペクトルに対応する量がいかなるときにカントル集合になるか、またどのような性質をもつカントル集合になるか、ということを解明したい。
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Outline of Annual Research Achievements |
行列式が1の2×2行列が有限個与えられたとする(この組を F とかく)。このとき、これらの行列をランダムに掛け合わせることを考える。このとき、この積がどの程度のスピードで増加するかを測る量として、Lyapunov exponent と呼ばれるものが知られている。たとえば、F が x 軸方向に 2 倍、y 軸方向に 1/2 倍するような行列のみからなる場合、 対応する Lyapunov exponent は log 2 となる。また、F が回転行列のみからなる場合には、Lyapunov exponent は 0 となる。 行列の組 F が uniform hyperbolic であるとは、F から任意に n 個の行列を選び掛け合わせたとき、その積が exponential に増加することをいう。F が uniformly hyperbolic であるときには、F はある種の「安定性」を持つことが知られている。 2022年度には、1パラメーターに依存する行列の組に関する問題を考察した。このとき、Lyapunov exponent は subharmoic な関数になる。行列の組がパラメーターに関し monotonic であるとき、行列の組が uniformly hyperbolic であることと、Lyapunov exponent が harmonic であることが同値であることを示した。また、Thouless formula と呼ばれる、Lyapunov exponent と rotation number に関する関係式についても考察し、これの拡張を与えた。
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
1パラメーターに依存する Furstenberg measure の絶対連続性の問題は、2021 の "Invariant measures for Iterated Function Systems with inverses" の論文で部分的に解決している。この論文で与えた例の transversality condition を示すことができれば、事実上の解決となる(この問題は学生に与えることを考えている)。現在は、非常に関連性の深い別の問題について考察している。
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Strategy for Future Research Activity |
興味があるのは、もとの行列の組が symmetric である場合であるが、おそらくこれは非常に難しい問題であると考えている。これからは、行列の組が inverse を持つ場合に、この組がある種の安定性をもつことと uniformly hyperblic であることが同値である、という定理の拡張を考えたい。
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Report
(2 results)
Research Products
(7 results)