位相幾何学的グラフ理論を用いたRyser予想の研究
| Project/Area Number |
21K13829
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 12030:Basic mathematics-related
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| Research Institution | Yokohama National University |
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Principal Investigator |
大野 由美子 横浜国立大学, 研究推進機構, 特任教員(助教) (40881074)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
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| Keywords | 位相幾何学的グラフ理論 / Ryser予想 / グラフ / ハイパーグラフ / グラフ彩色 |
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| Outline of Research at the Start |
グラフの主要な不変量として、最大マッチング数と最小頂点被覆数がある。グラフの最大マッチングを見つけるアルゴリズムにおいて、その最大性を判定する際にグラフの最小頂点被覆が用いられており、これらの関係性は非常に重要なものとなっている。最大マッチング数と最小頂点被覆数は、グラフを一般化したハイパーグラフにおいてもグラフ同様に定義でき、特にある条件を満たすハイパーグラフに対しては、それらの関係について「Ryser予想」と呼ばれる有名な予想が立てられている。この予想は長年解かれておらず、本研究では新たに位相幾何学的グラフ理論の知見を使うことで、Ryser予想の解決を目指す。
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、ハイパーグラフの最大マッチング数と最小頂点被覆数を、閉曲面上のグラフのface independence numberとguarding numberと呼ばれる不変量へそれぞれ翻訳し、位相幾何学的グラフ理論の知見を用いてRyser予想を解決することを目標としている。また、グラフの彩色を用いた観点からも研究を進めていく予定となっている。
２０２２年度は主に（１）グラフの彩色に関する諸問題と、（２）特別なグラフクラスにおけるRyser予想に関連した問題について研究を進めた。
（１）グラフの彩色に関しては、complete coloringと呼ばれる特別な彩色における予想が、キャタピラと呼ばれるグラフクラスにおいて成り立つことを示した。さらに、キャタピラでは、その予想よりも強い主張が成り立たない反例が見つかっておらず、その強い主張が成り立つのではないかと考え、研究を進めている。
（２）Ryser予想はr-partiteという条件を満たすハイパーグラフの最小頂点被覆数が、最大マッチング数のr-1倍以下であるという予想であるが、球面上の偶三角形分割と呼ばれるグラフクラスにおいては、これらの値が等しくなり、Ryser予想よりも強い主張が成り立つのではないかと予想している。そこで、まずは球面上の偶三角形分割の中でも、四角形分割の面細分によって作られるグラフに対してこの予想が成り立つかどうかについて、考察を進めた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
新型コロナウイルスによる影響で、共同研究を行うための出張や国際研究集会への参加ができず、具体的な成果が得られていないため。
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| Strategy for Future Research Activity |
基本的な方針は変えず、一般のr角形分割におけるface independence numberやguarding numberおよび彩色についての研究を引き続き進めていく。共同研究を予定している研究者とも共に議論を行い、r-partiteなハイパーグラフの言葉を位相幾何学的グラフ理論の言葉へと翻訳した理論を構築し、Ryser予想の解決を目指す。
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Report
(2 results)
Research Products
(10 results)
