| Project/Area Number |
21K13837
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 12040:Applied mathematics and statistics-related
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| Research Institution | The University of Fukuchiyama |
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Principal Investigator |
前田 一貴 福知山公立大学, 情報学部, 講師 (80732982)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥2,340,000 (Direct Cost: ¥1,800,000、Indirect Cost: ¥540,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
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| Keywords | 双直交多項式 / Laurent双直交多項式 / 離散相対論戸田格子 / ニュートン法 / 割線法 / 離散2次元戸田格子 / 五重対角行列 / 代数方程式 / 離散力学系 / 離散可積分系 / 離散戸田格子 |
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| Outline of Research at the Start |
双直交多項式解をもつ新しい離散可積分系系列の構成と，その性質の基礎的な研究，および数値計算への応用を図る．具体的には，対称帯行列の相似変換を与える離散可積分系の構成と解の漸近解析，代数方程式に対するニュートン法に類似した離散可積分系の構成とその性質の解明を目標とする．これらの研究が進展した結果として，行列の固有値・特異値計算アルゴリズム，代数方程式の求解アルゴリズム，離散力学系の理論などへの応用が期待される．
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| Outline of Annual Research Achievements |
離散戸田格子は行列固有値計算アルゴリズムであるqd法と等価であることが知られている．直交多項式との関係を用いると，一般化された直交多項式からまた別のアルゴリズムが出てくるということになる．本研究では直交多項式とLaurent双直交多項式が，工夫すると同一の行列式構造を持つと見ることができるという事実を利用して，三重対角行列の固有値問題と二重対角行列束の一般化固有値問題の間に，固有値を保存した非自明な変換があることを見出した．変換はqd法のアルゴリズムを計算して，各ステップから変数を取り出してくるという操作によって実現される．同様の方法は帯行列の固有値問題と一般化固有値問題に対しても拡張可能である．以上の結果について投稿していた論文の査読結果が返ってきており，対応中である．
3次方程式に対するニュートン法の課題については，変数の導入の仕方を工夫することで綺麗な連立系に書き直すことができた．収束先の制御については3つある根のうち端にある2根にしか行かないという問題があり，新しく導入した変数の初期値を変更することで残りの1根に収束させられることは確認しているが，その場合は解がわからなくなってしまい，自由に制御できる状況には至っていない．この他，周辺の話題を調査することで，割線法についてもほぼ同様の議論ができる可能性や，カオス系の文脈では一般化ブール変換というものとも何らかの関連性がありそうということを見出している．これらの方向性についてももう少し検討したうえで，結果をまとめたいと考えている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
ニュートン法の課題については論文の形にまとめてみたものの，内容をもう少し深めなければ雑誌掲載は難しそうであるという感触を得ているため，「研究実績の概要」に記した方向性の検討が必要になる．他方で，今度は前年度の五重対角行列についての研究が止まってしまっており，反省点となっている．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究期間を1年延長したため，確実に成果をまとめる．
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