Studies of split-step quantum walks by Jost solutions

• Project/Area Number: 21K13846
• Research Category: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Basic Section 12040:Applied mathematics and statistics-related
• Research Institution: Hachinohe National College of Technology
• Principal Investigator: Wada Kazuyuki 八戸工業高等専門学校, その他部局等, 助教 (80780197)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2023-03-31
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2022)
• Budget Amount: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000); Fiscal Year 2022: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000); Fiscal Year 2021: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
• Keywords: 量子ウォーク / ヨスト解 / 弱収束定理 / Witten指数 / ユニタリ同値類 / スプリットステップ量子ウォーク / 分散関係 / フレドホルム指数 / 散乱理論

Outline of Research at the Start

量子ウォークはランダムウォークの量子版として導入された数理モデルである．その中でスプリットステップ量子ウォークはトポロジカル相と深く関連するモデルである．スプリットステップ量子ウォークの弱極限分布を明らかにすることは重要な課題となっている．長距離型条件まで含めた弱極限分布の導出には波動作用素だけでは不十分である．そこでヨスト解に注目し，その解を用いて弱極限分布の導出を行う．

Outline of Final Research Achievements

The goal of this research is to clarify the weak limit distribution of split-step quantum walks by the application of Jost solutions (Generalized eigenfunctions). We established the analysis of dispersion relation and construction of Jost solutions of of split-step quantum walks. After that, we construct the modified wave operators. The rest of work is to complete the proof of weak limit theorems and to announce our results via research paper. Related to this research, we established the Witten index formula of split-step quantum walks.

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

量子ウォークは近年注目されている量子コンピューターや量子アルゴリズムを始めとする諸分野への応用が期待されているモデルである．その中でスプリットステップ量子ウォークはトポロジカル相と深い関連がある．本研究は長時間挙動に関係するものであり，その側面についてスプリットステップ量子ウォークが持つ性質を明らかにする事が出来た事は，諸分野への更なる応用が期待される事，分野横断的な発展が期待される点で，学術的・社会的な意義がある．

Research Products

• [Journal Article] The Witten index for one-dimensional split-step quantum walks under the non-Fredholm condition (2023)
  • Author(s): Matsuzawa Yasumichi、Suzuki Akito、Tanaka Yohei、Teranishi Noriaki、Wada Kazuyuki
  • Journal Title: Reviews in Mathematical Physics Volume: TBA Issue: 06
  • DOI: 10.1142/s0129055x23500101
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Absence of singular continuous spectra and embedded eigenvalues for one-dimensional quantum walks with general long-range coins (2022)
  • Author(s): Maeda Masaya、Suzuki Akito、Wada Kazuyuki
  • Journal Title: Reviews in Mathematical Physics Volume: - Issue: 05 Pages: 2250016-2250016
  • DOI: 10.1142/s0129055x22500167
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Unitary equivalence classes of split-step quantum walks (2021)
  • Author(s): Narimatsu Akihiro、Ohno Hiromichi、Wada Kazuyuki
  • Journal Title: Quantum Information Processing Volume: 20 Issue: 11 Pages: 1-23
  • DOI: 10.1007/s11128-021-03323-6
  • Peer Reviewed
• [Presentation] The Witten index for split-step quantum walks in 1d (2023)
  • Author(s): Kazuyuki Wada
  • Organizer: Japan-Netherlands Joint Seminar: Index Theory and Operator Algebras in Topological Physics
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] 1次元スプリットステップ量子ウォークのWitten指数 (2022)
  • Author(s): 和田 和幸
  • Organizer: 時間・量子測定・準古典近似の理論と実験~古典論と量子論の境界~
  • Invited
• [Presentation] Spectal theory and weak limit theorems for quantum walks in 1d (2022)
  • Author(s): Kazuyuki Wada
  • Organizer: RIMS(Conference) Rigorous Statistical Mechanics and Related Topics
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] 非フレドホルムスプリットステップ量子ウォークのウィッテン指数 (2021)
  • Author(s): 和田 和幸
  • Organizer: 日本数学会2021年度秋季総合分科会 応用数学分科会
• [Presentation] Witten index for 1-dimensional split-step quantum walks under non-Fredholm condition (2021)
  • Author(s): Kazuyuki Wada
  • Organizer: RIMS共同研究「スペクトル・散乱理論とその周辺」
  • Invited
• [Presentation] 1次元スプリットステップ量子ウォークのWitten指数 (2021)
  • Author(s): 和田 和幸
  • Organizer: 2021年度応用数学合同研究集会 離散系