| Project/Area Number |
21K18141
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Challenging Research (Pioneering)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Medium-sized Section 11:Algebra, geometry, and related fields
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
金子 昌信 九州大学, 数理学研究院, 教授 (70202017)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
松坂 俊輝 九州大学, 数理学研究院, 助教 (60868157)
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| Project Period (FY) |
2021-07-09 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥25,870,000 (Direct Cost: ¥19,900,000、Indirect Cost: ¥5,970,000)
Fiscal Year 2025: ¥7,280,000 (Direct Cost: ¥5,600,000、Indirect Cost: ¥1,680,000)
Fiscal Year 2024: ¥6,500,000 (Direct Cost: ¥5,000,000、Indirect Cost: ¥1,500,000)
Fiscal Year 2023: ¥5,590,000 (Direct Cost: ¥4,300,000、Indirect Cost: ¥1,290,000)
Fiscal Year 2022: ¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2021: ¥2,600,000 (Direct Cost: ¥2,000,000、Indirect Cost: ¥600,000)
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| Keywords | モックテータ関数 / モックモジュラー形式 / 結び目不変量 / 実2次体 / モジュラー結び目 / 実二次体の数論 / 調和マース形式 / 双曲型アイゼンシュタイン級数 / サイクル積分 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究では，「モジュラー結び目」から新しい仕方で，何らかの位相的不変量から，実二次体などの数論に資する数論的不変量を取り出し，その数論的性質を解明していくこと，また逆に数論的知見から位相的知見を得ることを目的とする．
具体的には，モジュラー結び目と三葉結び目との絡み数以外の不変量を考える，サイクル積分の反復化を考える，いろいろな Fuchs 群について，そのモジュラー形式のフーリエ係数やサイクル積分を考える，など，類体構成問題を念頭に置きつつも，より広い問題意識を持って取り組む．主な道具として， 双曲型アイゼンシュタイン級数や調和マース形式があり，これらを臨機応変に用い，また一般化する．
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| Outline of Annual Research Achievements |
代表者は，2020 年に J. of Ramanujan Math. Soc. に掲載された， Carsten Elsner，立谷洋平と共同で行った古典的なテータ関数の値の代数独立性，超越性に関する研究を，Daniel Duverneyも加えさらに発展させ，フィボナッチ数を用いた無限積の超越性および代数独立性に関する結果を発表することが出来た．この研究はテータ級数，デデキントエータ関数などモジュラー形式をふんだんに使うもので，モジュラー関数の実2次点での値の超越性にも道が開けないものかを探る研究を引き続き立谷と進めている．
分担者松坂は植木潤と共同で，2007年の Ghys による，三葉結び目 K の結び目補空間と同相である SL2(Z)\SL2(R) における，測地流の閉軌道としてのこの空間内のモジュラー結び目 C と，三葉結び目 K の絡み数 Lk(C,K) がRademacher記号 Ψ(γ) と等しくなるという結果を，モジュラー群を一般化した三角群 Γ_{p,q} に対し，同様の商空間 Γ_{p,q} \ SL2(R)や，そのS^3への持ち上げに対して，同様にモジュラー結び目を定義し，その絡み数を考察することで一般化した．一方で，三角群に対する調和 Maass 形式を考察し，重さ2の Eisenstein 級数 E2(z) の三角群への拡張を与えることで，そのサイクル積分として三角群の Rademacher 記号を定義し，Ghysの結果の拡張として，絡み数 = Rademacher記号 の形の等式を得た．さらに，三角群の Rademacher 記号を，浅井哲也の研究 (1970) のような，2次（有界）コホモロジー群 H^2(Γ_{p,q}, Z) の文脈で自然な特徴付けを与えた．他にも多重ベルヌーイ数やその一般化に対する様々な結果を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
モジュラー形式の値に関連するような数達の独立性，従属性の結果も，将来の発展如何では本研究課題の目的達成に重要な役割を果たしうるが，Ghys の結果を三角群に一般化した結果は，まさに研究計画で述べたことを実現する第一歩であり，コロナ禍による制限がまだ残る中，概ね順調な進展が見られたと判断する．
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き新型コロナ感染症の状況を見据えながらのこととなるが，モックモジュラー形式，調和マース形式などの関連研究を調べながら，モジュラー結び目， そして楕円モジュラー j-関数の実二次点での値をキーワードとした研究を進めていく.すなわち，従来の視点を大きく広げて，実二次体や不定値二次形式の数論に資する数論的不変量を取り出していくことを目標として研究を進める.クライン群の保型形式にまで枠組みを広げていくのも，未知の分野への探求であり， 大変興味深い方向であると考えている. 出来れば対面で，水野義紀，Zagierらとの議論を行いながら方向性を探っていく. これまでの古典的な成果を見直しを継続し，研究をすすめていく. キャリバーについての研究は，余り多くの研究者が取り組んでいない分野でもあり，まだまだ発展させる余地がある. モジュラー関数との関連を見出すべく，関連研究者と議論を進める.多重ゼータ値関連の研究も，本研究に活かせるところは活かし，引き続き推進していく.
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