A new look into various arithmetic and topological invariants through the eyes of modular knots

• Project/Area Number: 21K18141
• Research Category: Grant-in-Aid for Challenging Research (Pioneering)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Medium-sized Section 11:Algebra, geometry, and related fields
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 金子 昌信 九州大学, 数理学研究院, 教授 (70202017)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 松坂 俊輝 九州大学, 数理学研究院, 助教 (60868157)
• Project Period (FY): 2021-07-09 – 2026-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥25,870,000 (Direct Cost: ¥19,900,000、Indirect Cost: ¥5,970,000); Fiscal Year 2025: ¥7,280,000 (Direct Cost: ¥5,600,000、Indirect Cost: ¥1,680,000); Fiscal Year 2024: ¥6,500,000 (Direct Cost: ¥5,000,000、Indirect Cost: ¥1,500,000); Fiscal Year 2023: ¥5,590,000 (Direct Cost: ¥4,300,000、Indirect Cost: ¥1,290,000); Fiscal Year 2022: ¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000); Fiscal Year 2021: ¥2,600,000 (Direct Cost: ¥2,000,000、Indirect Cost: ¥600,000)
• Keywords: モックテータ関数 / モックモジュラー形式 / 結び目不変量 / 実2次体 / モジュラー結び目 / 実二次体の数論 / 調和マース形式 / 双曲型アイゼンシュタイン級数 / サイクル積分

Outline of Research at the Start

本研究では，「モジュラー結び目」から新しい仕方で，何らかの位相的不変量から，実二次体などの数論に資する数論的不変量を取り出し，その数論的性質を解明していくこと，また逆に数論的知見から位相的知見を得ることを目的とする．
具体的には，モジュラー結び目と三葉結び目との絡み数以外の不変量を考える，サイクル積分の反復化を考える，いろいろな Fuchs 群について，そのモジュラー形式のフーリエ係数やサイクル積分を考える，など，類体構成問題を念頭に置きつつも，より広い問題意識を持って取り組む．主な道具として， 双曲型アイゼンシュタイン級数や調和マース形式があり，これらを臨機応変に用い，また一般化する．

Outline of Annual Research Achievements

代表者は，修士学生藤澤を指導し，実2次体のcaliberの4を法とする合同類に関する以前からの予想の多くを解決すると共に，新たな命題を証明することが出来た．これは論文にまとめ投稿中である．モジュラー形式とは直接に結びついてはいないが，ある種のモジュラー形式のフーリエ係数との関連など，全く期待できないことではないと思われ，引き続きその関連を調べる動機づけとしても，この種の結果は意味があると思われる．分担者松坂が与えた，もともと平野によって与えられていた特別な実二次体に対する数論的Dijkgraaf-Witten不変量の平方剰余記号を用いた明示公式の新しい知見や，素数定理に類するある種の密度公式も，この文脈で捉えなおすことも可能かも知れない．
また松坂は，保型性の崩れた双曲型Eisenstein級数を考察し、s=0へ解析接続後、そのFourier係数としてj関数のサイクル積分を実現した．双曲型Eisenstein級数は保型形式では無いため，通常のサイ クル積分を定義できないが，サイクル積分の一般化である均質化サイクル積分を導入し双曲型Eisenstein級数に適用することで，二つの双曲元の組に対して定まる整数値関数 (双曲Rademacher記号)を構成した．これはDuke-Imamoglu-Tothにより与えられた2つのモジュラー結び目の絡み数と一致する．また，Rademacher記号の相互法則と類似した関係式を用いることで，双曲Rademacher記号の明示公式を与えた.他にも松坂は，偽テータ関数とWRT不変量に関するいくつかの結果を得た．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

j関数のサイクル積分は本研究課題の出発点となった対象であり，そこで予想されている現象の解明を目標として出発した研究が本研究の前身と言える．従って，これを双曲型Eisenstein級数のFourier係数として実現した成果は，一つのマイルストーンとして大きな意味を持つ．またモジュラー結び目の絡み数を双曲Rademacher記号として理解する結果も，研究計画の一端を実現していると言え，計画は概ね順調に進んでいると判断する．

Strategy for Future Research Activity

コロナの影響からほぼ脱したので，対面での研究交流を活発化させながら，モックモジュラー形式，調和マース形式などの関連研究を調べつつ，モジュラー結び目，そして楕円モジュラー j-関数の実二次点での値をキーワードとした研究を引き続き進めていく.いまだ十分には実現したとは言えない，実二次体や不定値二次形式の数論に資する数論的不変量を取り出していくことを昨年度に引き続いて目標として研究を進める. クライン群の保型形式やBianchiモジュラー形式などにまで枠組みを広げられればよいが，そのために専門家による情報提供なども受けていく. caliberについての研究も，余り多くの研究者が取り組んでいない分野でもあり，我々のグループで発展させていかなければならないと考えている．モジュラー関数との関連を見出すべく，関連研究者と議論を進めていく．多重ゼータ値関連の研究も，数理物理を架け橋として繋がる可能性が皆無ではない．本研究に活かせるところは活かし，引き続き推進していく.

Research Products

• [Journal Article] Multiple L-values of level four, poly-Euler numbers, and related zeta functions (2024)
  • Author(s): Kaneko Masanobu, Hirofumi Tsumura
  • Journal Title: Tohoku Math. J. Volume: -
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Modular Transformations of Homological Blocks for Seifert Fibered Homology 3-Spheres (2024)
  • Author(s): Matsusaka Toshiki、Terashima Yuji
  • Journal Title: Communications in Mathematical Physics Volume: 405 Issue: 2 Pages: 1-25
  • DOI: 10.1007/s00220-024-04939-2
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Hikami’s observations on unified WRT invariants and false theta functions (2024)
  • Author(s): Toshiki Matsusaka
  • Journal Title: "Low Dimensional Topology and Number Theory" Springer Proceedings in Mathematics & Statistics Volume: -
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] How long can k-Gobel sequences remain integers functions (2024)
  • Author(s): Rinnosuke Matsuhira, Toshiki Matsusaka, Koki Tsuchida
  • Journal Title: The American Mathematical Monthly Volume: -
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] On finite multiple zeta values of level two (2023)
  • Author(s): Kaneko Masanobu、Murakami Takuya、Yoshihara Amane
  • Journal Title: Pure and Applied Mathematics Quarterly Volume: 19 Issue: 1 Pages: 267-280
  • DOI: 10.4310/pamq.2023.v19.n1.a10
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] A study of a Fuchsian system of rank 8 in 3 variables and the ordinary differential equations as its restrictions (2023)
  • Author(s): Akihito Ebisu, Yoshishige Haraoka, Masanobu Kaneko, Hiroyuki Ochiai, Takeshi Sasaki, Masaaki Yoshida
  • Journal Title: Osaka J. Math. Volume: 60, no.1 Pages: 153-206
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Arithmetic Dijkgraaf?Witten invariants for real quadratic fields, quadratic residue graphs, and density formulas (2023)
  • Author(s): Deng Yuqi、Kurimaru Riku、Matsusaka Toshiki
  • Journal Title: Research in Number Theory Volume: 9 Issue: 4 Pages: 1-16
  • DOI: 10.1007/s40993-023-00471-9
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Curious congruences for cyclotomic polynomials II (2023)
  • Author(s): Matsusaka Toshiki、Shibukawa Genki
  • Journal Title: Research in Number Theory Volume: 10 Issue: 1 Pages: 1-9
  • DOI: 10.1007/s40993-023-00489-z
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] A hyperbolic analogue of the Rademacher symbol (2023)
  • Author(s): Toshiki Matsusaka
  • Journal Title: Mathematische Annalen Volume: - Issue: 3 Pages: 2843-2886
  • DOI: 10.1007/s00208-023-02588-9
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Modular knots, automorphic forms, and the Rademacher symbols for triangle groups (2023)
  • Author(s): Toshiki Matsusaka, Jun Ueki
  • Journal Title: Research in the Mathematical Sciences Volume: 10, Article number 4 Issue: 1
  • DOI: 10.1007/s40687-022-00366-8
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] REMARKABLE RELATIONS BETWEEN THE CENTRAL BINOMIAL SERIES, EULERIAN POLYNOMIALS, AND POLY-BERNOULLI NUMBERS, LEADING TO STEPHAN'S OBSERVATION (2023)
  • Author(s): Beata Benyi, Toshiki Matsusaka
  • Journal Title: Kyushu Journal of Mathematics Volume: 77 Issue: 1 Pages: 149-158
  • DOI: 10.2206/kyushujm.77.149
  • ISSN: 1340-6116, 1883-2032
  • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
• [Journal Article] A criterion of algebraic independence of values of modular functions and an application to infinite products involving Fibonacci and Lucas numbers (2022)
  • Author(s): Daniel Duverney, Carsten Elsner, Masanobu Kaneko, and Yohei Tachiya
  • Journal Title: Reseach in Number Theory Volume: 8, no. 2 Paper No. 31 Issue: 2
  • DOI: 10.1007/s40993-022-00328-7
  • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Combinatorial aspects of poly-Bernoulli polynomials and poly-Euler numebrs (2022)
  • Author(s): Beata Benyi, Toshiki Matsusaka
  • Journal Title: Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux Volume: Tome 34, 3 Issue: 3 Pages: 917-939
  • DOI: 10.5802/jtnb.1234
  • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Bijective enumerations for symmetrized poly-Bernoulli polynomials (2022)
  • Author(s): Minoru Hirose, Toshiki Matsusaka, Ryutaro Sekigawa, Hyuga Yoshizaki
  • Journal Title: The Electronic Journal of Combinatorics Volume: 29, 3 Issue: 3
  • DOI: 10.37236/10598
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Ramanujan’s mock theta functions and mock modular forms (Japanese, survey) (2022)
  • Author(s): Toshiki Matsusaka
  • Journal Title: RIMS Kokyuroku Bessatsu, Algebraic Number Theory and Related Topics Volume: -
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] A generalized regularization theorem and Kawashima’s relation for multiple zeta values (2021)
  • Author(s): Masanobu Kaneko, Ce Xu and Shuji Yamamoto
  • Journal Title: Journal of Algebra Volume: 580 Pages: 247-263
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] On the behavior of multiple zeta-functions with identical arguments on the real line (2021)
  • Author(s): Matsumoto Kohji、Matsusaka Toshiki、Tanackov Ilija
  • Journal Title: Journal of Number Theory Volume: - Pages: 151-182
  • DOI: 10.1016/j.jnt.2021.11.008
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Presentation] On finite analogues of Euler's constant (2024)
  • Author(s): Masanobu Kaneko
  • Organizer: NCTS Number Theory Seminar
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Modular knots, automorphic forms, and the Rademacher symbols (2024)
  • Author(s): Toshiki Matsusaka
  • Organizer: 2024 Workshop on Number Theory and Algebra
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Tales of integers (2024)
  • Author(s): Toshiki Matsusaka
  • Organizer: 2024 Workshop on Number Theory and Algebra
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] How long can k-Gobel sequences remain integers? (2024)
  • Author(s): 松坂 俊輝
  • Organizer: 第17回ゼータ若手研究集会
• [Presentation] Introduction to quantum modular forms & discontinuity property of Habiro series (2024)
  • Author(s): Toshiki Matsusaka
  • Organizer: Low dimensional topology and number theory XV
  • Invited
• [Presentation] 崩れた保型性を持つq-級数について (2024)
  • Author(s): 松坂 俊輝
  • Organizer: 研究集会「q級数とその周辺」
  • Invited
• [Presentation] Kaneko's val function and a hyperbolic analogue of Rademacher's symbol (2024)
  • Author(s): Toshiki Matsusaka
  • Organizer: UNIST Number Theory Seminar
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Multiple L-values of conductor four, Entringer numbers, and modular forms (2023)
  • Author(s): Masanobu Kaneko
  • Organizer: Number Theory Seminar
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Multiple L-values of conductor four, Entringer numbers, and modular forms (2023)
  • Author(s): Masanobu Kaneko
  • Organizer: The 2nd International Workshop on Multiple Zeta Values and Related Fields
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Prime numbers and multiple zeta values (2023)
  • Author(s): 金子昌信
  • Organizer: 談話会
  • Invited
• [Presentation] On finite multiple zeta values and related topics (2023)
  • Author(s): 金子昌信
  • Organizer: 第19回代数・解析・幾何学セミナー
  • Invited
• [Presentation] Discontinuity property of a certain Habiro series at roots of unity (2023)
  • Author(s): Toshiki Matsusaka
  • Organizer: International Seminar on Automorphic Forms
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Curious congruences for cyclotomic polynomials (2023)
  • Author(s): 松坂 俊輝
  • Organizer: RIMS共同研究（公開型）「解析的整数論とその周辺」
• [Presentation] How long can k-Gobel sequences remain integers? (2023)
  • Author(s): 松坂 俊輝
  • Organizer: 第149回日本数学会九州支部例会
• [Presentation] 双曲Rademacher記号 (2023)
  • Author(s): 松坂 俊輝
  • Organizer: 数論合同セミナー
  • Invited
• [Presentation] モックモジュラー形式と数論 (2023)
  • Author(s): 松坂 俊輝
  • Organizer: 数理談話会
  • Invited
• [Presentation] On some formulas for quadratic class numbers (2023)
  • Author(s): Masanobu Kaneko
  • Organizer: Number Theory in Tokyo, 東京工業大学
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Rogers再訪: Baileyペアと偽テータ関数 (2023)
  • Author(s): 松坂俊輝
  • Organizer: 第2回大分数論研究集会
  • Invited
• [Presentation] 中央二項級数の負の整数点での値 (2023)
  • Author(s): 松坂俊輝
  • Organizer: 第148回日本数学会九州支部例会
  • Invited
• [Presentation] テータ関数の2つの様式「擬テータ」と「偽テータ」 (2023)
  • Author(s): 松坂俊輝
  • Organizer: 第6回数理新人セミナー, 九州大学
  • Invited
• [Presentation] Hikami’s observations on unified WRT invariants and false theta functions (2023)
  • Author(s): 松坂俊輝
  • Organizer: Gauge Fields in Arithmetic, Topology&Physics, ICMS, UK
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Hikami’s observations on unified WRT invariants and false theta functions (2023)
  • Author(s): 松坂俊輝
  • Organizer: 2023早稲田整数論研究集会
• [Presentation] レベル4の多重 L 値について (2022)
  • Author(s): 金子昌信
  • Organizer: RIMS 研究集会「多重ゼータ値の諸相」
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Euler 数，Entringer 数と導手4の多重 L 値 (2022)
  • Author(s): 金子昌信
  • Organizer: 三角函数研究会，神戸大学理学研究科
  • Invited
• [Presentation] 虚2次体の類数をめぐる2,3の話題 (2022)
  • Author(s): 金子昌信
  • Organizer: 愛知数論セミナー
  • Invited
• [Presentation] フルヴィッツ型多重ゼータ値の正規化と川島関係式 (2022)
  • Author(s): 金子昌信
  • Organizer: 「代数的整数論とその周辺」研究集会，京都大学数理解析研究所
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Variations on a function of Rademacher, (2022)
  • Author(s): 松坂俊輝
  • Organizer: 九大代数学セミナー，九州大学
  • Invited
• [Presentation] モックモジュラー形式の理論および最近の進展について (2022)
  • Author(s): 松坂俊輝
  • Organizer: 八王子数論セミナー「モックテータ関数」
  • Invited
• [Presentation] Piatetski-Shapiro列における不定方程式の解について (2022)
  • Author(s): 松坂俊輝
  • Organizer: 2022大分熊本整数論研究集会
  • Invited
• [Presentation] 8次元球充填問題について (2022)
  • Author(s): 松坂俊輝
  • Organizer: ウインクあいちセミナー, 愛知県立大学
  • Invited
• [Presentation] Multiple L-values of conductor 4, Entringer numbers, and period polynomials (2022)
  • Author(s): 金子昌信
  • Organizer: 第 16 回多重ゼータ研究集会& 第 58 回関西多重ゼータ研究会
  • Invited
• [Presentation] Modular transformation formulas for homological blocks (2022)
  • Author(s): 松坂俊輝
  • Organizer: RIMS conference “Automorphic forms, automorphic L-functions and related topics”
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Modular transformations of homological blocks for Seifert fibered homology 3-spheres (2022)
  • Author(s): 松坂俊輝
  • Organizer: Low dimensional topology and number theory XIII
  • Invited
• [Presentation] レベル2有限多重ゼータ値について (2021)
  • Author(s): 金子昌信
  • Organizer: 九州代数的整数論2021夏
  • Invited
• [Presentation] Ramanujanのモックテータ関数とモックモジュラー形式について（サーベイ） (2021)
  • Author(s): 松坂俊輝
  • Organizer: 解析数論セミナー
  • Invited
• [Presentation] Stephan’s observation on the central binomial series (2021)
  • Author(s): 松坂俊輝
  • Organizer: 九大多重ゼータセミナー
  • Invited
• [Presentation] Ramanujanのモックテータ関数とモックモジュラー形式について（サーベイ） (2021)
  • Author(s): 松坂俊輝
  • Organizer: 東北大学代数セミナー
  • Invited
• [Presentation] Triangle modular knots and Rademacher symbols (2021)
  • Author(s): 松坂俊輝
  • Organizer: 代数学シンポジウム
  • Invited
• [Presentation] 多重Bernoulli数の組合せ論 (2021)
  • Author(s): 松坂俊輝
  • Organizer: 2021大分整数論研究集会
  • Invited
• [Presentation] 数の愛好家 (2021)
  • Author(s): 松坂俊輝
  • Organizer: 若手研究者の今を知る「アカデミックフラッシュ」
  • Invited
• [Presentation] 中央二項級数に関するStephanの観察について (2021)
  • Author(s): 松坂俊輝
  • Organizer: RIMS共同研究「解析的整数論とその周辺」
• [Presentation] Bijective enumerations for symmetrized poly-Bernoulli polynomials (2021)
  • Author(s): 松坂俊輝
  • Organizer: 九大多重ゼータセミナー
  • Invited
• [Presentation] Estermann zeta functions and cycle integrals (2021)
  • Author(s): 松坂俊輝
  • Organizer: 月例報告会
  • Invited
• [Presentation] Extnsions of the combinatorics of poly-Bernoulli numbers (2021)
  • Author(s): 松坂俊輝
  • Organizer: 第56回関西多重ゼータ研究会
  • Invited
• [Presentation] Modular knots, automorphic forms, and the Rademacher symbols for triangle groups (2021)
  • Author(s): 松坂俊輝
  • Organizer: NCTS Seminar on Number Theory
  • Int'l Joint Research / Invited