数値代数解析学の開拓 ー量子系偏微分方程式の数値解法の新展開ー

• Project/Area Number: 21K18301
• Research Category: Grant-in-Aid for Challenging Research (Pioneering)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Medium-sized Section 60:Information science, computer engineering, and related fields
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 宮武 勇登 大阪大学, サイバーメディアセンター, 准教授 (60757384)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 曽我部 知広 名古屋大学, 工学研究科, 准教授 (30420368)
• Project Period (FY): 2021-07-09 – 2026-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2022)
• Budget Amount: ¥25,740,000 (Direct Cost: ¥19,800,000、Indirect Cost: ¥5,940,000); Fiscal Year 2025: ¥7,150,000 (Direct Cost: ¥5,500,000、Indirect Cost: ¥1,650,000); Fiscal Year 2024: ¥5,460,000 (Direct Cost: ¥4,200,000、Indirect Cost: ¥1,260,000); Fiscal Year 2023: ¥7,410,000 (Direct Cost: ¥5,700,000、Indirect Cost: ¥1,710,000); Fiscal Year 2022: ¥3,510,000 (Direct Cost: ¥2,700,000、Indirect Cost: ¥810,000); Fiscal Year 2021: ¥2,210,000 (Direct Cost: ¥1,700,000、Indirect Cost: ¥510,000)
• Keywords: 数値解析 / 数値線形代数 / 偏微分方程式 / 微分方程式 / 二次計画問題 / 共役勾配法 / 定常反復法 / 量子系偏微分方程式

Outline of Research at the Start

近年，情報科学諸分野においても偏微分方程式(PDE)の数値計算の重要度が高まっている.従来，PDEの数値計算は，離散化を担う数値解析学と，行列方程式に帰着された後の数値線形代数学によって支えられてきた.学問の細分化の結果それぞれが一つの学問領域として成熟してきたが，一方で両領域間の交流は希薄になってきており，PDEの数値解法の発展の足かせになりはじめている.本研究では，数値解析学と数値線形代数学を独自の視座で再融合し，特に代数学的精神で解析学を数値的に研究する新しい学理 「数値代数解析学」を開拓する.研究期間内では，特に量子系情報・量子物理シミュレーションの限界突破を目指す.

Outline of Annual Research Achievements

偏微分方程式の数値計算は，離散化を担う数値解析学と，行列方程式に帰着された後の数値線形代数学によって支えられてきた．両者はそれぞれが一つの学問領域として成熟し，多くの優れた解法が生成されてきたが，一方で，両領域間の交流は希薄になってきており，偏微分方程式の数値解法の発展の足かせになりはじめている．本研究は，一度は細分化した数値解析学と数値線形代数学を独自の視座で再融合し，特に代数学的精神で解析学を数値的に研究する新しい学理「数値代数解析学」を開拓することを目指すものである．
2年度目は，初年度に開発した適応型射影SOR法について，新たな応用例の研究などを行った．初年度は，偏微分方程式の数値解法や画像処理の文脈を念頭に数値実験による検証を行っていたが，適応型射影SOR法は線形制約付きの二次計画問題全般に応用することが原理的には可能であり，これまでの検証に加えて，機械学習など情報学のいくつかの文脈の問題設定下でも有用であることを検証した．さらに，CG法と微分方程式の関係についても検討を進めた．CG法それ自体について微分方程式との直接的かつ非自明な関係性は依然として発見できていないが，その研究の中で，遅延微分方程式と連立一次方程式の数値解法の間にいくつかの関係性を見出すことができた．その他，KdV方程式やシュレディンガー方程式などいくつかの偏微分方程式に対して，離散化後の行列計算を強く意識した新しい離散化手法の検討を進めた．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本研究課題の中心的な課題の一つである，CG法と常微分方程式の数値解法の非自明な関係性については，依然として発見できていないが，一方で，試行錯誤を重ねる中で，連立一次方程式に対するその他の様々な数値解法と常微分方程式の数値解法の間に新たな関係性を見出すことはできており，これらは，本研究課題全体の目的には大きく寄与するものと考えられる．

Strategy for Future Research Activity

CG法については引き続き検討を進めていく．また，これまで開発してきた手法を，必要に応じて改良を加えながら，画像処理分野における（制約付き二次計画問題とは異なる）微分方程式によるモデリングの文脈への応用を進める．

Research Products

• [Journal Article] High-order linearly implicit schemes conserving quadratic invariants (2023)
  • Author(s): Sato Shun、Miyatake Yuto、Butcher John C.
  • Journal Title: Applied Numerical Mathematics Volume: 187 Pages: 71-88
  • DOI: 10.1016/j.apnum.2023.02.005
  • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Composing a surrogate observation operator for sequential data assimilation (2022)
  • Author(s): Akita Kosuke、Miyatake Yuto、Furihata Daisuke
  • Journal Title: JSIAM Letters Volume: 14 Issue: 0 Pages: 123-126
  • DOI: 10.14495/jsiaml.14.123
  • ISSN: 1883-0609, 1883-0617
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Computing the matrix fractional power with the double exponential formula (2021)
  • Author(s): Tatsuoka Fuminori、Sogabe Tomohiro、Miyatake Yuto、Kemmochi Tomoya、Zhang Shao-Liang
  • Journal Title: ETNA - Electronic Transactions on Numerical Analysis Volume: 54 Pages: 558-580
  • DOI: 10.1553/etna_vol54s558
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Symplectic adjoint method for exact gradient of neural ODE with minimal memory (2021)
  • Author(s): Takashi Matsubara, Yuto Miyatake, Takaharu Yaguchi
  • Journal Title: Advances in Neural Information Processing Systems 35 (NeurIPS2021) Volume: 35
  • Peer Reviewed
• [Presentation] A family of fourth-order energy-preserving integrators (2023)
  • Author(s): Y. Miyatake
  • Organizer: Auckland Numerical Ordinary Differential Equations
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] A family of fourth-order energy-preserving integrators (2022)
  • Author(s): Y. Miyatake
  • Organizer: ICNAAM 2022
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Generalized nearly isotonic regression and its applications to discretization error quantification of ODEs (2022)
  • Author(s): Y. Miyatake
  • Organizer: JSPS Alumni Seminar Topics in computational methods for stochastic and deterministic differential equations
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] 微分方程式の数値解析とデータサイエンス (2022)
  • Author(s): 宮武勇登
  • Organizer: IBIS2022
  • Invited
• [Presentation] Quantifying uncertaintiesin the numerical integration of ODEs (2022)
  • Author(s): 宮武勇登
  • Organizer: RIMS研究集会：ランダム力学系・非自励力学系研究の展望：理論と応用
  • Invited
• [Presentation] 離散化に由来する不確実性定量化の近年の動向 (2022)
  • Author(s): 宮武勇登, 松田孟留
  • Organizer: RIMS研究集会：数値解析が拓く次世代情報社会～エッジから富岳まで～
  • Invited
• [Presentation] 微分方程式の離散化に関する不確実性定量化の近年の動向 (2022)
  • Author(s): 宮武勇登, 松田孟留
  • Organizer: RIMS研究集会：常微分方程式の定性的理論とその現象解析への応用
  • Invited
• [Presentation] 非負制約付き2次計画問題に対する適応型射影SOR法 (2021)
  • Author(s): 宮武勇登, 曽我部知広
  • Organizer: 日本応用数理学会2021年度年会
• [Presentation] 一般化近単調回帰と常微分方程式の数値計算の誤差推定 (2021)
  • Author(s): 松田孟留, 宮武勇登
  • Organizer: 日本応用数理学会2021年度年会,
• [Presentation] Computation of singular values for generalized tensor sum (2021)
  • Author(s): T. Sogabe, A. Ohashi
  • Organizer: The 40th JSST Annual International Conference on Simulation Technology
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Book] 20世紀のトップ10アルゴリズム (2022)
  • Author(s): 金田行雄/笹井理生【監修】張紹良【編】曽我部知広【3章】
  • Total Pages: 360
  • Publisher: 共立出版
  • ISBN: 9784320122673