数値代数解析学の開拓 ー量子系偏微分方程式の数値解法の新展開ー

• Project/Area Number: 21K18301
• Research Category: Grant-in-Aid for Challenging Research (Pioneering)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Medium-sized Section 60:Information science, computer engineering, and related fields
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 宮武 勇登 大阪大学, サイバーメディアセンター, 准教授 (60757384)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 曽我部 知広 名古屋大学, 工学研究科, 准教授 (30420368)
• Project Period (FY): 2021-07-09 – 2026-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥25,740,000 (Direct Cost: ¥19,800,000、Indirect Cost: ¥5,940,000); Fiscal Year 2025: ¥7,150,000 (Direct Cost: ¥5,500,000、Indirect Cost: ¥1,650,000); Fiscal Year 2024: ¥5,460,000 (Direct Cost: ¥4,200,000、Indirect Cost: ¥1,260,000); Fiscal Year 2023: ¥7,410,000 (Direct Cost: ¥5,700,000、Indirect Cost: ¥1,710,000); Fiscal Year 2022: ¥3,510,000 (Direct Cost: ¥2,700,000、Indirect Cost: ¥810,000); Fiscal Year 2021: ¥2,210,000 (Direct Cost: ¥1,700,000、Indirect Cost: ¥510,000)
• Keywords: 数値解析 / 数値線形代数 / 偏微分方程式 / 微分方程式 / 二次計画問題 / 定常反復法 / 共役勾配法 / 量子系偏微分方程式

Outline of Research at the Start

近年，情報科学諸分野においても偏微分方程式(PDE)の数値計算の重要度が高まっている.従来，PDEの数値計算は，離散化を担う数値解析学と，行列方程式に帰着された後の数値線形代数学によって支えられてきた.学問の細分化の結果それぞれが一つの学問領域として成熟してきたが，一方で両領域間の交流は希薄になってきており，PDEの数値解法の発展の足かせになりはじめている.本研究では，数値解析学と数値線形代数学を独自の視座で再融合し，特に代数学的精神で解析学を数値的に研究する新しい学理 「数値代数解析学」を開拓する.研究期間内では，特に量子系情報・量子物理シミュレーションの限界突破を目指す.

Outline of Annual Research Achievements

偏微分方程式の数値計算は，離散化を担う数値解析学と，行列方程式に帰着された後の数値線形代数学によって支えられてきた．両者はそれぞれが一つの学問領域として成熟し，多くの優れた解法が生成されてきたが，一方で，両領域間の交流は希薄になってきており，偏微分方程式の数値解法の発展の足かせになりはじめている．本研究は，一度は細分化した数値解析学と数値線形代数学を独自の視座で再融合し，特に代数学的精神で解析学を数値的に研究する新しい学理「数値代数解析学」を開拓することを目指すものである．

3年度目は，これまで開発してきた適応型射影SOR法について，新しい収束判定などの研究を行った．これまでの判定基準ではかなりゆるい必要条件しか確認していなかったところ，確認の容易な新しい判定基準を導入した．また，当初想定していなかった展開ではあるが，画像復元の文脈で新しいアルゴリズムの雛形と呼べるものを提案した．画像復元では，1990年代には，偏微分方程式モデルをたて，数値計算する方法が開発されたが，2000年代後半以降，偏微分方程式を介さないADMMの代表されるアルゴリズムの研究が主流となっている．このような中，本研究課題の中核をなすSOR法の考え方を偏微分方程式モデルにも応用する道筋を見出した．現状としては，プロトタイプレベルのアルゴリズムではあるが，ADMMが苦手とする問題設定においても良好な振る舞いを見せることを数値的に確認できた．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本研究課題の中心的な課題の一つである，CG法と常微分方程式の数値解法の非自明な関係性については，依然として発見できていない．
一方で，連立一次方程式の解法の解法を偏微分方程式の離散化に活用する新しい例を見つけることができた．対象は量子系の偏微分方程式ではなく，画像処理の文脈の方程式ではあるが，勾配の視点などで共通の構造もあり，量子系偏微分方程式を考えるための準備としては大きな進展であるといえる．

Strategy for Future Research Activity

CG法については引き続き検討を進めていく．また，画像処理アルゴリズムについては，様々な設定での数値実験と収束などに関する数学解析（やそれらに基づくアルゴリズムの改良）を進めていき，量子系偏微分方程式へ発展的に展開する地盤を固めていく．

Research Products

• [Journal Article] Modelling the discretization error of initial value problems using the Wishart distribution (2024)
  • Author(s): Marumo Naoki、Matsuda Takeru、Miyatake Yuto
  • Journal Title: Applied Mathematics Letters Volume: 147 Pages: 108833-108833
  • DOI: 10.1016/j.aml.2023.108833
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Lyapunov-stable deep equilibrium models (2024)
  • Author(s): H. Chu, S. Wei, T. Liu, Y. Zhao, Y. Miyatake
  • Journal Title: The 38th Annual AAAI Conference on Artificial Intelligence Volume: 38 Pages: 11615-11623
  • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
• [Journal Article] A modified model for topic detection from a corpus and a new metric evaluating the understandability of topics (2023)
  • Author(s): Kitano Tomoya、Miyatake Yuto、Furihata Daisuke
  • Journal Title: JSIAM Letters Volume: 15 Issue: 0 Pages: 121-124
  • DOI: 10.14495/jsiaml.15.121
  • ISSN: 1883-0609, 1883-0617
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Tensor product-type methods for solving Sylvester tensor equations (2023)
  • Author(s): Niu Jing、Sogabe Tomohiro、Du Lei、Kemmochi Tomoya、Zhang Shao-Liang
  • Journal Title: Applied Mathematics and Computation Volume: 457 Pages: 128155-128155
  • DOI: 10.1016/j.amc.2023.128155
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Shifted LOPBiCG: A locally orthogonal product‐type method for solving nonsymmetric shifted linear systems based on Bi‐CGSTAB (2023)
  • Author(s): Zhao Ren‐Jie、Sogabe Tomohiro、Kemmochi Tomoya、Zhang Shao‐Liang
  • Journal Title: Numerical Linear Algebra with Applications Volume: 31 Issue: 2
  • DOI: 10.1002/nla.2538
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] High-order linearly implicit schemes conserving quadratic invariants (2023)
  • Author(s): Sato Shun、Miyatake Yuto、Butcher John C.
  • Journal Title: Applied Numerical Mathematics Volume: 187 Pages: 71-88
  • DOI: 10.1016/j.apnum.2023.02.005
  • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Composing a surrogate observation operator for sequential data assimilation (2022)
  • Author(s): Akita Kosuke、Miyatake Yuto、Furihata Daisuke
  • Journal Title: JSIAM Letters Volume: 14 Issue: 0 Pages: 123-126
  • DOI: 10.14495/jsiaml.14.123
  • ISSN: 1883-0609, 1883-0617
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Computing the matrix fractional power with the double exponential formula (2021)
  • Author(s): Tatsuoka Fuminori、Sogabe Tomohiro、Miyatake Yuto、Kemmochi Tomoya、Zhang Shao-Liang
  • Journal Title: ETNA - Electronic Transactions on Numerical Analysis Volume: 54 Pages: 558-580
  • DOI: 10.1553/etna_vol54s558
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Symplectic adjoint method for exact gradient of neural ODE with minimal memory (2021)
  • Author(s): Takashi Matsubara, Yuto Miyatake, Takaharu Yaguchi
  • Journal Title: Advances in Neural Information Processing Systems 35 (NeurIPS2021) Volume: 35
  • Peer Reviewed
• [Presentation] A shifted LOPBiCG method for solving nonsymmetric shifted linear systems (2023)
  • Author(s): R. Zhao, T. Sogabe, T. Kemmochi, S.-L. Zhang
  • Organizer: ICIAM2023
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] Tensor product-type methods for solving Sylvester tensor equations (2023)
  • Author(s): J. Niu, T. Sogabe, T. Kemmochi, S.-L. Zhang
  • Organizer: ICIAM2023
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] Numerical algorithms for computing singular values of a generalized tensor sum (2023)
  • Author(s): T. Sogabe, A. Ohashi
  • Organizer: The 14th International Conference on Numerical Optimization and Numerical Linear Algebra
  • Invited
• [Presentation] A family of fourth-order energy-preserving integrators (2023)
  • Author(s): Y. Miyatake
  • Organizer: Auckland Numerical Ordinary Differential Equations
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] A family of fourth-order energy-preserving integrators (2022)
  • Author(s): Y. Miyatake
  • Organizer: ICNAAM 2022
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Generalized nearly isotonic regression and its applications to discretization error quantification of ODEs (2022)
  • Author(s): Y. Miyatake
  • Organizer: JSPS Alumni Seminar Topics in computational methods for stochastic and deterministic differential equations
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] 微分方程式の数値解析とデータサイエンス (2022)
  • Author(s): 宮武勇登
  • Organizer: IBIS2022
  • Invited
• [Presentation] Quantifying uncertaintiesin the numerical integration of ODEs (2022)
  • Author(s): 宮武勇登
  • Organizer: RIMS研究集会：ランダム力学系・非自励力学系研究の展望：理論と応用
  • Invited
• [Presentation] 離散化に由来する不確実性定量化の近年の動向 (2022)
  • Author(s): 宮武勇登, 松田孟留
  • Organizer: RIMS研究集会：数値解析が拓く次世代情報社会～エッジから富岳まで～
  • Invited
• [Presentation] 微分方程式の離散化に関する不確実性定量化の近年の動向 (2022)
  • Author(s): 宮武勇登, 松田孟留
  • Organizer: RIMS研究集会：常微分方程式の定性的理論とその現象解析への応用
  • Invited
• [Presentation] 非負制約付き2次計画問題に対する適応型射影SOR法 (2021)
  • Author(s): 宮武勇登, 曽我部知広
  • Organizer: 日本応用数理学会2021年度年会
• [Presentation] 一般化近単調回帰と常微分方程式の数値計算の誤差推定 (2021)
  • Author(s): 松田孟留, 宮武勇登
  • Organizer: 日本応用数理学会2021年度年会,
• [Presentation] Computation of singular values for generalized tensor sum (2021)
  • Author(s): T. Sogabe, A. Ohashi
  • Organizer: The 40th JSST Annual International Conference on Simulation Technology
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Book] 20世紀のトップ10アルゴリズム (2022)
  • Author(s): 金田行雄/笹井理生【監修】張紹良【編】曽我部知広【3章】
  • Total Pages: 360
  • Publisher: 共立出版
  • ISBN: 9784320122673