Project/Area Number |
21K18588
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Research Category |
Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
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Allocation Type | Multi-year Fund |
Review Section |
Medium-sized Section 12:Analysis, applied mathematics, and related fields
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Research Institution | Kyushu University |
Principal Investigator |
瀬片 純市 九州大学, 数理学研究院, 教授 (90432822)
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Project Period (FY) |
2021-07-09 – 2024-03-31
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Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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Budget Amount *help |
¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
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Keywords | 関数方程式 / ネットワーク / 調和解析 |
Outline of Research at the Start |
六角結晶状の物質であるカーボンナノチューブ, 屈折率が周期的に変わるナノ構造体であるフォトニック結晶など, 約30年程前よりミクロン以下という非常に小さなグラフ状の構造を持つ素材が開発され始めた. それらの構造体の特性を探るため, グラフ上での量子的粒子の運動の解析が注目されるようになり, 工学のみならず数学的な立場から, 主に線形の偏微分方程式を通して研究されている. 本研究ではネットワーク上の非線形シュレディンガー方程式を通して, グラフ上の量子的粒子の運動を解析する.
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Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は, ネットワーク上の量子的粒子の運動を, グラフ上で非線形シュレディンガー方程式を解析することで解明することである. 本年度はグラフ上の非線形シュレディンガー方程式に対し, 解の適切性(解の存在, 一意性, 解の初期値連続依存性)及び解の長時間挙動という観点から考察した. グラフ上の線形シュレディンガー作用素は, 一般にスペクトルの構造が複雑で, 例えば, 円と半直線をキルヒホッフ接続条件でつなげたオタマジャクシ型とよばれるグラフの場合, 連続スペクトルの中に可算無限個の埋蔵固有値が現れる. この場合, そのグラフ上の線形シュレディンガー方程式の解の減衰評価は知られているが, 本研究ではグラフにどのような構造があれば線形シュレディンガー方程式の解が減衰評価を持つのか?ということについて考察したとともに, 減衰評価が対応する非線形方程式の解の長時間挙動(散乱問題, ソリトンの漸近安定性など)に適用できるかどうかについても検討した. また, 関連する問題として, 空間1次元において3次の非線形項をもつ非線形シュレディンガー連立系の解の長時間挙動について考察した. 方程式が単独の場合, 非線形項の影響により, 解の漸近形に位相の修正を伴うことが以前から知られていたが, 本研究では, 解の漸近形に位相の修正を伴うだけでなく, 振幅部分にも非線形項の影響による修正項が現れ, 解の時間減衰が対数オーダーや代数オーダーで遅くなるような非線形シュレディンガー連立系の例を見つけた.
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上で述べたように, グラフ上の線形シュレディンガー作用素のスペクトルの構造は複雑で, 対応する非線形シュレディンガー方程式の適切性や解の長時間挙動を調べるには固有値の影響を見る必要があり, 克服すべき課題が見えてきた. 一方, グラフの特別な場合と見なせる空間1次元において, 3次の非線形項をもつ非線形シュレディンガー連立系の解の長時間挙動について考察したが, 解の時間減衰が対数オーダーや代数オーダーで遅くなるような非線形シュレディンガー連立系の例を見つけることができ, 本研究課題に関連する問題でいくつか進展があった.
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Strategy for Future Research Activity |
次年度は, 今年度に引き続き, (1)グラフ上の非線形シュレディンガー方程式の適切性, (2)グラフ上の非線形シュレディンガー方程式の解の長時間挙動, の2点について考察する. 特に, グラフ上で調和解析の理論を構築することでこれらの問題にアプローチにする. また, 本研究を推進するため, 偏微分方程式やグラフ理論, 調和解析の専門家を招聘し研究集会等を開催する.
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