| Project/Area Number |
21K20327
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Research Activity Start-up
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
0201:Algebra, geometry, analysis, applied mathematics,and related fields
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
和田 康載 神戸大学, 理学研究科, 助教 (30836698)
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| Project Period (FY) |
2021-08-30 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
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| Keywords | 仮想結び目 / 仮想絡み目 / 2k-移動 / クシイ移動 / デルタ移動 / リンコイド / ミルナー不変量 / ねじれ数 / 多重化 |
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| Outline of Research at the Start |
2010年代に絡み目の一般化にあたるリンコイドの概念が定義された。リンコイドの理論でも、結び目・絡み目理論と同様に、リンコイドを分類することが基本的な目標である。分類を行うには、同値なリンコイドに対し、同じ値をとるリンコイドの不変量を研究することが重要である。しかし、リンコイドの研究の歴史は浅く、不変量はわずかしか知られていない現状である。本研究では、絡み目の不変量の族であるミルナー不変量を、リンコイドの不変量に拡張することを試みる。これにより数多くのリンコイドの不変量を与え、リンコイドの分類問題の解決につなげる。
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| Outline of Annual Research Achievements |
kを自然数とする。仮想結び目図式の2本の平行なアークを、2k個の半ひねりに置き換える操作、またはその逆操作を2k-移動という。また、図式を辿ったときに連続して出会う３つの実交差a，b，cに対して、aとcの位置を入れ替える操作をクシイ移動という。昨年度までの研究成果として、2k-移動とクシイ移動を組み合わせて得られる同値関係による仮想結び目の分類が得られていた。この結果をまとめた学術論文はOsaka Journal of Mathematicsに掲載されることが決定した。
本年度は、上記の結果を2成分仮想絡み目へ拡張することに取り組んだ。2成分仮想絡み目が奇型であるとは、その(1, 2)-絡み数と(2, 1)-絡み数の和が奇数であるときをいう。2成分仮想絡み目が奇型である場合に、2k-移動とクシイ移動を組み合わせて得られる同値関係のもとでの分類が、(1, 2)-絡み数と(2, 1)-絡み数を用いて与えられることを示した。
また、本年度は仮想結び目・仮想絡み目に対して新しい局所変形を導入し、その性質を解明することにも取り組んだ。仮想結び目の図式の実交差を仮想交差に置き換える操作を、（交差）仮想化という。古典的結び目理論における重要な局所変形の1つであるΔ-移動の仮想化版と見なせる局所変形を定義した。この局所変形をvΔ-移動と呼ぶ。Δ-移動を繰り返し行っても自明な結び目に変形できないような仮想結び目が存在する一方で、任意の仮想結び目はvΔ-移動を有限回施すと自明な結び目に変形できることを示した。さらに、成分数が2以上であるような2つの仮想絡み目が有限回のvΔ-移動で互いに移り合うための必要十分条件を与えた。この一連の研究成果は2編の学術論文にまとめられ、それぞれ国際論文雑誌に投稿中である。本研究は中村拓司氏（山梨大学）、中西康剛氏（神戸大学）、佐藤進氏（神戸大学）との共同研究である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要で述べたように、昨年度の研究成果をまとめた論文が国際論文雑誌に掲載されることが決定し、本年度得られた研究成果をまとめた学術論文2本は国際論文雑誌に投稿中である。その他に、2編の論文が国際論文雑誌に掲載された。このように一定の成果が出ているため、おおむね順調に進展していると評価した。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度の研究の進捗状況を踏まえて、今後の研究として、主に以下の2の研究を推進する予定である。
(1) 2成分仮想絡み目が偶型であるとは、その(1, 2)-絡み数と(2, 1)-絡み数が2を法として合同であるときをいう。本年度達成できなかった、2成分仮想絡み目が偶型である場合に、2k-移動とクシイ移動を組み合わせて得られる同値関係による同値類の分類を与えることに取り組む。
(2) 仮想結び目理論では、古典的結び目理論の範疇では定義できなかった局所変形が数多く導入されてきた。研究実績の内容で述べた、クシイ移動、交差仮想化、vΔ-移動はそのような局所変形の例となっている。数多く局所変形が点在する中で、それらを関連づけるような研究はほとんど行われていない現状である。そこで、本年度導入したvΔ-移動を含め、仮想結び目に対する局所変形を統一的に扱う手法を与えることに取り組む。この手法を与えるために、与えられた局所変形の交差の情報を忘れた基礎グラフ（underlying graph）に着目して、研究を推進する予定である。
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