Challenge towards the open problems in the theory of lattice polytopes by algebraic and combinatorial methods

• Project/Area Number: 21KK0043
• Research Category: Fund for the Promotion of Joint International Research (Fostering Joint International Research (B))
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Medium-sized Section 11:Algebra, geometry, and related fields
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 東谷 章弘 大阪大学, 大学院情報科学研究科, 准教授 (60723385)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 土谷 昭善 東邦大学, 理学部, 講師 (30836953) ; 大杉 英史 関西学院大学, 理学部, 教授 (80350289)
• Project Period (FY): 2021-10-07 – 2026-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥19,110,000 (Direct Cost: ¥14,700,000、Indirect Cost: ¥4,410,000); Fiscal Year 2025: ¥4,940,000 (Direct Cost: ¥3,800,000、Indirect Cost: ¥1,140,000); Fiscal Year 2024: ¥3,640,000 (Direct Cost: ¥2,800,000、Indirect Cost: ¥840,000); Fiscal Year 2023: ¥3,640,000 (Direct Cost: ¥2,800,000、Indirect Cost: ¥840,000); Fiscal Year 2022: ¥3,640,000 (Direct Cost: ¥2,800,000、Indirect Cost: ¥840,000); Fiscal Year 2021: ¥3,250,000 (Direct Cost: ¥2,500,000、Indirect Cost: ¥750,000)
• Keywords: 格子多面体 / Unimodal予想 / 小田予想 / Ehrhart理論 / 格子凸多面体 / h*多項式

Outline of Research at the Start

本研究の目的は、格子凸多面体論における懸案の未解決問題である「Unimodal予想」「小田予想」の解決である。これらの予想は、格子凸多面体論のみならず、数学における諸分野と関連する重要な研究テーマであるが、完全解決に向けて、まだまだ課題が多く残っているのが現状である。そこで本共同研究において、当該分野における世界的権威であるマックス・プランク研究所ライプツィヒのBernd Sturmfelsを中心とした研究グループと強力なタッグを組み、様々な分野背景を持つ研究者たちとの綿密な議論に基づく共同研究を遂行する。

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的は、国際共同研究を実施することにより、格子多面体論における懸案の未解決問題を解決することである。具体的には、「Unimodal予想」「小田予想」と呼ばれる２つの重要な未解決問題に取り組むことである。
当該年度は、アメリカ・サンノゼにて開催されたEhrhart理論に関する国際集会に参加し、格子多面体論に関する最新の研究について情報を収集することができた。他にも、有限グラフに付随する反射的多面体である symmetric edge polytope に関する共同研究や、半順序集合に付随する多面体の組合せ的変異性に関する共同研究を実施した。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

2022年５月にサンノゼにて開催されたEhrhart理論に関する国際集会に参加したことにより、格子多面体論に関する最新の研究の進捗状況について情報交換することができた。その中で、例えば、unimodal予想について、反射的多面体のh^*列に対してはunimodal予想が肯定的に解決した、という情報を得た。さらに、同変Ehrhart理論や重み付きEhrhart理論など、既存のEhrhart理論の一般に関する新たな議論も行われ、当該研究課題の一般化の方向性も見出すことができた。また、ドイツのMartina Juhnke-Kubitzke氏と、symmetric edge polytopeのh^*列に関する共同研究も開始し、極小な値をh^*列に持つようなグラフについての一定の研究成果を得ることに成功しており、目下、共著論文を執筆中である。
その他、当該研究課題に関連する研究成果をいくつかあげており、おおむね順調に研究が進展しているといえる。

Strategy for Future Research Activity

懸案の未解決問題の１つである「unimodal予想」が、反射的多面体に対しては正しいことが証明された。そこで、反射的とは限らない正規な格子多面体に対して、どこまでunimodal予想が正しいかを検討していきたいとかんがえている。
また、小田予想についても、代数幾何や表現論など、様々な観点から引き続き研究を進める予定である。

Research Products

• [Int'l Joint Research] コルゲート大学(米国)
• [Int'l Joint Research] スウェーデン王立工科大学(スウェーデン)
• [Int'l Joint Research] コンスタンツ大学(ドイツ)
• [Int'l Joint Research] ミラノ工科大学(イタリア)
• [Int'l Joint Research] Osnabruck University(ドイツ)
• [Int'l Joint Research] Ghent University(ベルギー)
• [Journal Article] Combinatorial mutations of Gelfand-Tsetlin polytopes, Feigin-Fourier-Littelmann-Vinberg polytopes, and block diagonal matching field polytopes (2024)
  • Author(s): Clarke Oliver、Higashitani Akihiro、Mohammadi Fatemeh
  • Journal Title: Journal of Pure and Applied Algebra Volume: 228 Issue: 7 Pages: 107637-107637
  • DOI: 10.1016/j.jpaa.2024.107637
  • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Difference of Hilbert series of homogeneous monoid algebras and their normalizations (2024)
  • Author(s): Higashitani Akihiro
  • Journal Title: Semigroup Forum Volume: 108 Issue: 1 Pages: 101-114
  • DOI: 10.1007/s00233-024-10414-0
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Period Collapse in Characteristic Quasi-Polynomials of Hyperplane Arrangements (2022)
  • Author(s): Higashitani Akihiro、Tran Tan Nhat、Yoshinaga Masahiko
  • Journal Title: International Mathematics Research Notices Volume: - Issue: 10 Pages: 8934-8963
  • DOI: 10.1093/imrn/rnac104
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Presentation] Difference of Hilbert series of homogeneous monoid algebras and their normalizations (2024)
  • Author(s): Akihiro Higashitani
  • Organizer: Seminar at Politecnico di Milano
  • Invited
• [Presentation] Characterizing h^*-polynomials of lattice simplices with small volumes (2023)
  • Author(s): Akihiro Higashitani
  • Organizer: Combinatorics Seminar at KTH
  • Invited
• [Presentation] Characterizing h^*-polynomials of lattice simplices with small volumes (2023)
  • Author(s): Akihiro Higashitani
  • Organizer: Combinatorics Seminar at St. Louis
  • Invited
• [Presentation] Introduction to toric rings arising from combinatorial objects (2022)
  • Author(s): Akihiro Higashitani
  • Organizer: Osnabruck Colloquium
  • Invited
• [Presentation] Period collapse in characteristic quasi-polynomials of non-central hyperplane arrangements (2022)
  • Author(s): Akihiro Higashitani
  • Organizer: Combinatorics, geometry and commutative algebra of hyperplane arrangements
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Remarks]
  • URL: https://sv2-mat.ist.osaka-u.ac.jp/~higashitani/index.html
• [Remarks]
  • URL: http://sv2-mat.ist.osaka-u.ac.jp/~higashitani/
• [Remarks]
  • URL: http://sv2-mat.ist.osaka-u.ac.jp/~higashitani/papers.html
• [Funded Workshop] Characteristic Polynomials of Hyperplane Arrangements and Ehrhart Polynomials of Convex Polytopes (2023)
• [Funded Workshop] Combinatorial and Algebraic Aspects of Lattice Polytopes (2023)