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Study of generalized quantum groups by using Weyl groupoids

Research Project

Project/Area Number 22K03225
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

Allocation TypeMulti-year Fund
Section一般
Review Section Basic Section 11010:Algebra-related
Research InstitutionUniversity of Toyama

Principal Investigator

山根 宏之  富山大学, 学術研究部理学系, 教授 (10230517)

Project Period (FY) 2022-04-01 – 2025-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help
¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Keywordsホップ代数 / リースーパー代数 / ワイル亜群 / 一般化された量子群 / ハミルトン閉路
Outline of Research at the Start

1990 年代にスーパーリー代数の表現論の研究が進み、それらの既約表現に対して様々な指標公式が発見されてきた。研究代表者は双指標と呼ばれるデータχ から定義される一般化された量子群U(χ) の構造論および表現論を研究してきた。最近、有限型のU(χ) のtypicalと呼ばれるクラスの指標公式を求めた。次の研究の主な目的はアファインU(χ)の適切に定義を見つけてその構造を調べ、typicalの概念を整備し指標公式を求める事である。

Outline of Annual Research Achievements

一般化された有限ルート系から決まるワイル亜群の有限グラフのハミルトン閉路の存在性を示した。ルート系は元々は複素単純リー代数の分類に使われた。ルート系にはユークリッド内積が入り、その内積に対する反射を利用して抽象ルート系が分類され、それを利用して複素単純リー代数の分類された。リー超代数のルート系(ここではスーパールート系と呼ぶ)は抽象ルート系ではなくて奇反射と呼ばれる反射の下では対称ではない。スーパールート系の一般化として一般化されたルート系の公理がHeckenbergerと山根によって提案された。一般化された有限ルート系の分類はCuntzとHeckenbergerによって実行された。抽象ルート系に対するワイル群が単純反射を生成系とするコクセター関係式で実現される様に、一般化されたルート系に対してワイル亜群が定義され単純反射を生成系とするコクセター関係式で実現される。但し亜群であるので単位元が複数あり単位元ごとにコクセター関係式が異なる。有限ワイル群のケイリーグラフのハミルトン閉路の存在性は他の研究者によってなされている。山根は一般化された有限型量子群に付随する有限ワイル亜群のケイリーグラフのハミルトン閉路の存在性を示した論文を出版した。井上鷹斗と山根は一般化された有限型量子群に付随しない有限ワイル亜群のケイリーグラフのハミルトン閉路の存在性を示したプレプリントを書いた。ランク2のときはそのケイリーグラフはサークルなので明らかにハミルトン閉路は存在する。ランク3のときはMathematicaを直接用いてハミルトン閉路を実際に求めた。ランク4のときはMathematicaを用いながら従来のよく知られた手法でハミルトン閉路を実際に求めた。ランク5以上のときは存在性を示した。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

任意の一般化された有限ルートに対するワイル亜群のケイリーグラフのハミルトン閉路の存在性を証明したプレプリント(プレプリントサーバーarXivに置いた)を書いた。

Strategy for Future Research Activity

アフィン型の一般化された量子群U(x)の普遍R行列の構成に取り組む。アフィン型の一般化されたワイル亜群W(x)について研究をする。W(x)の基本ウエイトの被約表示ついて研究をする。その被約表示を用いて普遍R行列をBeckの手法で書き下す。一般化された量子群U(x)のLusztig同型はよく知られている。しかしながら、山根が1999年の論文でU(x)がアフィンスーパー量子群に対して示したHopf代数の捩れ化を利用する方法とは異なる方法でLusztig同型の存在性が示された。任意の一般化された量子群U(x)のLusztig同型の存在を捩れ化によって行うことを目的とする。この目的の為にweightに関する無限和が必要であるが、同時にh進位相に関する無限和を考察することも有効だと思われる。

ハミルトン閉路についてはランク5の一般化されたワイル亜群W(x)のケイリーグラフのハミルトン閉路を実際に求めることを目的とする。3連結3正則平面的2部グラフはハミルトン閉路をもつというBarnette予想との関連についての研究をする。

Report

(2 results)
  • 2023 Research-status Report
  • 2022 Research-status Report
  • Research Products

    (9 results)

All 2024 2023 2022 Other

All Journal Article (2 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Peer Reviewed: 2 results,  Open Access: 1 results) Presentation (5 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Invited: 1 results) Remarks (2 results)

  • [Journal Article] Hamilton circuits of Cayley graphs of Weyl groupoids of generalized quantum groups2022

    • Author(s)
      YAMANE Hiroyuki
    • Journal Title

      Toyama mathematical journal

      Volume: 43 Pages: 1-76

    • DOI

      10.15099/00022468

    • URL

      https://toyama.repo.nii.ac.jp/records/20055

    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] On generators and defining relations of quantum e superalgebra Uq({\hat{sl}}_{m|n})2022

    • Author(s)
      Lin Hongda、Yamane Hiroyuki、Zhang Honglian
    • Journal Title

      Journal of Algebra and Its Applications

      Volume: - Issue: 01

    • DOI

      10.1142/s021949882450021x

    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Presentation] Typical irreducible character formula for generalized quantum groups2024

    • Author(s)
      Hiroyuki Yamane
    • Organizer
      International Conference "Dualities in Quantum Groups"
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 一般化された有限ルート系のワイル亜群のケイリーグラフおよびハミルトン閉路2023

    • Author(s)
      山根 宏之
    • Organizer
      表現論の組合せ論的側面とその周辺
    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Presentation] ワイル亜群のケイリーグラフのハミルトン閉路2023

    • Author(s)
      山根宏之(登壇者)、井上鷹斗
    • Organizer
      2023 日本数学会 秋季総合分科会一般講演
    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Presentation] スーパー量子群の普遍 R 行列について2022

    • Author(s)
      山根 宏之
    • Organizer
      Toyama Workshop on Quantum Groups and Related Topics
    • Related Report
      2022 Research-status Report
  • [Presentation] Hamiltonian cycles for Weyl groupoids2022

    • Author(s)
      山根 宏之
    • Organizer
      組合せ論的表現論における最近の展開
    • Related Report
      2022 Research-status Report
  • [Remarks] Hiroyuki Yamane's Homepage in University of Toyama

    • URL

      http://www3.u-toyama.ac.jp/hiroyuki/

    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Remarks] Hiroyuki Yamane Homepage

    • URL

      http://www3.u-toyama.ac.jp/hiroyuki/

    • Related Report
      2022 Research-status Report

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Published: 2022-04-19   Modified: 2024-12-25  

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