p進微分方程式の解の対数的増大度を駆使した数論幾何学における新手法

Research Project

Project/Area Number	22K03227
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 11010:Algebra-related
Research Institution	Nagoya University
Principal Investigator	大久保俊名古屋大学, 多元数理科学研究科, 講師 (20755160)
Project Period (FY)	2022-04-01 – 2027-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2022)
Budget Amount *help	¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000) Fiscal Year 2026: ¥130,000 (Direct Cost: ¥100,000、Indirect Cost: ¥30,000) Fiscal Year 2025: ¥260,000 (Direct Cost: ¥200,000、Indirect Cost: ¥60,000) Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000) Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000) Fiscal Year 2022: ¥1,820,000 (Direct Cost: ¥1,400,000、Indirect Cost: ¥420,000)
Keywords	p進微分方程式 / 対数的増大度 / ピカールフックス方程式
Outline of Research at the Start	一般に代数体上の代数多様体のよい族Eに対し, ピカールフックス方程式Hf=0が対応する. Eのあたえられた幾何学的性質Pに対し, それに対応したHf=0の解析的性質P'が存在すると期待できる. 本研究では, この文脈において, PとしてEのt=t_0での法pでの還元としたとき, P'としてt=t_0のまわりでの局所解のp進対数的増大度が対応することを, Eとして楕円曲線のルジャンドル族などをとって示すことである.
Outline of Annual Research Achievements	本年度は、p進微分方程式のsingularityとgeneric radii of convergenceとの関係を研究した。具体的には、以下の問題を考察した。混標数(0,p)を持つrationalなcomplete nonarchimedean differential field Fが与えられたとき、F上の``有界な''開円板上``regular singular''なfinite differential module Mを考える。もう少し具体的に書くと、Mは適当な非アルキメデス環R上finite freeであり、log derivationの作用をもつものである。Mに対し、MをRを適切な付値で完備化したものに関し係数拡大することにより、Kedlayaの定義した、subsudiary generic radii of convergenceという不変量をとることにより、あるpolygonをえることができる。これは、都築、松田の結果により、このpolygonのslopeは、Mがregular singularityであるという事実を反映して、適当な評価ができると期待される。本年度は、twisted polynomialのlog variant、および、subsudiary generic radii of convergenceのlog variantを構成し、logなしとlog variantとの比較をし、slopeの評価を具体的に与えた。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 最終目標は、p進微分方程式の大域整数論への応用である。p進微分方程式自体がまだ未解明のことが多いため、p進微分方程式自体の理解を深める必要がある段階である。今年度は、そのp進微分方程式自体の研究を推進できたため、おおむね順調に進展しているといえる。
Strategy for Future Research Activity	本研究の最終目標は、Legendre familyをはじめとする``よい''代数多様体の族Xに対し、付随するPicard Fuchs moduleを考え、``局所化''してえられるp進微分方程式を調べることで、Xのファイバーの大域的性質を調べることである。この過程における、``局所化''の部分は、計算面が整備されていないように見えるので、都築(2003)、Kedlaya(2022)などの関連すると思われる理論を使い、Legendre familyやCalabi-Yau多様体のDwork族などの具体的な族に対して計算を行う。