空間の対に関する代数学的研究

Research Project

Project/Area Number	22K03229
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 11010:Algebra-related
Research Institution	Hiroshima University
Principal Investigator	高橋宣能広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 准教授 (60301298)
Project Period (FY)	2022-04-01 – 2026-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help	¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000) Fiscal Year 2025: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000) Fiscal Year 2024: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000) Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000) Fiscal Year 2022: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Keywords	代数多様体 / Gromov-Witten不変量 / カンドル / カンドル多様体 / Lie-Yamaguti代数 / 対数的幾何学
Outline of Research at the Start	空間とその部分空間からなる対、という設定から生じる代数的構造・現象について、以下のようなことを研究する。 (A) 代数多様体Xと閉部分多様体Dに対し、X上の曲線などの幾何学的対象にDとの交わりに関する条件を課したものを調べ、対数的Gromov-Witten不変量への応用やDonaldson-Thomas不変量、Pandharipande-Thomas不変量の対数化を模索する。 (B) カンドルやその一般化など、位相的な対に関わる代数系について、その上の加群のなす圏等を調べる。また、数論的スキームとその余次元1の閉部分スキームという状況において、付随する代数的構造を研究する。
Outline of Annual Research Achievements	今年度は、半単純な Lie-Yamaguti 代数や無限小 s 多様体の表現、および対数的曲面上の一次元層のモジュライ空間に関する研究を行なった。 1. カンドル多様体の一種である正則 s 多様体から、そのある点での接空間として無限小 s 多様体が定まる。無限小 s 多様体は、Lie-Yamaguti 代数に付加構造を与えたものと言える。正則 s 多様体上の加群は無限小 s 多様体の表現と対応し、したがって Lie-Yamaguti 代数の表現を定める。今年度は、Lie-Yamaguti 代数または無限小 s 多様体であって、付随する Lie 代数が半単純であるようなものの構造、およびそれらの表現と付随する Lie 代数の表現の関係について、様々な例の構成を含む、詳細な研究を行なった。 2. K3 曲面上の層のモジュライ空間がシンプレクティック多様体をなすことの類似として、対数的カラビヤウ曲面 (X, D) 上の一次元層であって、その台と D の交わりが一点であるようなもののモジュライ空間に関する研究を行なった。今年度は、主に、このモジュライ空間のシンプレクティック特異点解消が存在するか、という問題について、X を何回かブローアップして得られる曲面上の一次元層のモジュライ空間と関係付けることにより調べた。特に、ブローアップした曲面上の層の平坦な族に対して、直像として得られる X 上の層の族の平坦性が成り立つ条件など、技術的な問題について考察を行なった。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason カンドル多様体上の加群・無限小 s 多様体や Lie-Yamaguti 代数の表現について、基礎理論の構築が順調に進展している。また、対数的多様体上の層のモジュライについて、技術的な問題点が解決されつつある。
Strategy for Future Research Activity	カンドル多様体上の加群・無限小s多様体やLie-Yamaguti代数の表現については、基礎理論の構築を続けるとともに、正則でないものやそれらの間のExt群などを調べ、加群圏全体の姿を捉えることを目指す。対数的多様体上の層については、モジュライ空間の特異点のシンプレクティック解消の存在について調べるとともに、数え上げなどへの応用を模索する。