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双曲多様体上の素測地線分布とセルバーグゼータ関数の研究

Research Project

Project/Area Number 22K03234
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

Allocation TypeMulti-year Fund
Section一般
Review Section Basic Section 11010:Algebra-related
Research InstitutionUniversity of the Ryukyus

Principal Investigator

橋本 康史  琉球大学, 理学部, 准教授 (30452733)

Project Period (FY) 2022-04-01 – 2025-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help
¥3,770,000 (Direct Cost: ¥2,900,000、Indirect Cost: ¥870,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Keywordsセルバーグゼータ関数 / 跡公式 / length spectrum / 普遍性定理 / ラプラシアンのスペクトル
Outline of Research at the Start

双曲多様体上の素測地線に関するオイラー積で定義されるセルバーグゼータ関数は、素元のノルムの重複の様子や零点の分布などにおいて多様体ごとに相違点があり、その相違はとくに多様体の基本群が数論的な場合と非数論的な場合とで顕著であると考えられている。本研究では、このように多様体ごとに異なるセルバーグゼータ関数の性質を跡公式と素測地線の分布の観点から明らかにすることを目的とする。

Outline of Annual Research Achievements

2022年度の研究では、Drungilas-Garunkstis-Kacenas(2013)と見正(2021)によるセルバーグゼータ関数の普遍性定理と同時普遍性定理をより一般的な数論的な基本群に対して一般化し、普遍性定理が成り立つ非絶対収束域内の領域を拡張した。2023年度はまず、この研究における同時普遍性定理が成り立つ基本群の組の共役類の跡(trace)の集合に関する条件を緩和したうえで、2022年度の成果に加えて学術論文としてまとめたところ、国際学術誌に2024年度発行分として掲載された(研究発表欄を参照)。
ただ、これらの普遍性定理が有効な領域は必ずしも最良とはいえず、この領域を改良するためには、ラプラシアンの固有値であらわされるセルバーグゼータ関数の非自明零点の分布をより詳しく調べる必要がある。2023年度の研究では、ラプラシアンの固有値の指数和に関するある種の無限和が絶対収束する条件と、絶対収束しないが条件収束する条件を明らかにした。絶対収束する条件は古典的なワイル(Weyl)の定理からほぼ明らかだが、条件収束する条件については収束性に関するデリケートな議論を行う必要がある。本研究の代表者は(複素)解析数論的な手法を用いることでそれを解決し、具体的な収束性の条件を導くことができた。本研究の成果についてはすでに、国内の研究集会で発表している。学術論文としてまとめるにはまだ不十分な部分があり、引き続き研究を進め、国際学術誌への掲載を目指す予定である。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

2022年度に行ったセルバーグゼータ関数の普遍性定理と同時普遍性定理に関する研究については、今年度はじめに幾分改良を行い、その内容をまとめた論文を国際学術誌に掲載することができた。また、ラプラシアンの固有値の指数和については、素測地線定理の誤差項評価に関する一連の論文で頻出しており、その評価を改良することが誤差項評価の改良に直結すると考えられている。そのため、今年度に得られた研究成果はセルバーグゼータ関数の普遍性だけでなく、素測地線分布を調べる際にも大きな役割を果たすことが期待できる。以上の理由から、総合的に「おおむね順調に進展している。」と判断する。

Strategy for Future Research Activity

2022年度から2023年度にかけて行った研究の成果であるセルバーグゼータ関数の普遍性定理はlength spectrumの数論的な表示と既知のラプラシアンのスペクトルの分布に関する知見から導かれたものである。また、ラプラシアンの固有値の指数和に関する研究では「(条件)収束する」ことがわかっただけで、今のところ素測地線定理の誤差項評価や普遍性定理の適用範囲を改良するには至っていない。今年度は、length spectrumの数論的な表示をより一般的なarithmeticな群に拡張するとともに、ラプラシアンの固有値の指数和についても収束性だけでなく、具体的な漸近的な評価を行う。とくに、スペクトルゼータ関数の係数に指数を付加した関数の解析性を調べることで、新たな知見を得られると期待している。

Report

(2 results)
  • 2023 Research-status Report
  • 2022 Research-status Report
  • Research Products

    (12 results)

All 2024 2023 2022

All Journal Article (5 results) (of which Peer Reviewed: 5 results,  Open Access: 3 results) Presentation (7 results)

  • [Journal Article] Universality theorems of Selberg zeta functions for arithmetic groups2024

    • Author(s)
      Hashimoto Yasufumi
    • Journal Title

      The Quarterly Journal of Mathematics

      Volume: 75 Issue: 1 Pages: 219-238

    • DOI

      10.1093/qmath/haae006

    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Solving the Problem of Blockwise Isomorphism of Polynomials with Circulant Matrices2023

    • Author(s)
      Yasufumi Hashimoto
    • Journal Title

      IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences

      Volume: E106.A Issue: 3 Pages: 185-192

    • DOI

      10.1587/transfun.2022CIP0002

    • ISSN
      0916-8508, 1745-1337
    • Year and Date
      2023-03-01
    • Related Report
      2023 Research-status Report 2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] An improvement of algorithms to solve under-defined systems of multivariate quadratic equations2023

    • Author(s)
      Hashimoto Yasufumi
    • Journal Title

      JSIAM Letters

      Volume: 15 Issue: 0 Pages: 53-56

    • DOI

      10.14495/jsiaml.15.53

    • ISSN
      1883-0609, 1883-0617
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Square integrals of the logarithmic derivatives of Selberg’s zeta functions in the critical strip2023

    • Author(s)
      Yasufumi Hashimoto
    • Journal Title

      International Journal of Number Theor

      Volume: 19 Issue: 04 Pages: 747-756

    • DOI

      10.1142/s1793042123500379

    • Related Report
      2023 Research-status Report 2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Key recovery attack on Hufu-UOV2022

    • Author(s)
      Yasufumi Hashimoto
    • Journal Title

      JSIAM Letters

      Volume: 14 Issue: 0 Pages: 1-4

    • DOI

      10.14495/jsiaml.14.1

    • NAID

      130008145019

    • ISSN
      1883-0609, 1883-0617
    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Presentation] 有限体上の under-defined な多変数連立2次方程式の解法について2023

    • Author(s)
      橋本康史
    • Organizer
      日本応用数理学会第19回研究部会連合発表会
    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Presentation] セルバーグゼータ関数に関する普遍性定理2023

    • Author(s)
      橋本康史
    • Organizer
      2023年度日本数学会年会代数学分科会
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      2023 Research-status Report 2022 Research-status Report
  • [Presentation] On the spectral exponential sums for compact Riemann surfaces2023

    • Author(s)
      Yasufumi Hashimoto
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      橋本康史
    • Organizer
      Crestクリプトマス 2023年度第2回全体会議
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      2023 Research-status Report
  • [Presentation] 有限体上の under-defined な多変数連立2次方程式の解法について2023

    • Author(s)
      橋本康史
    • Organizer
      日本応用数理学会第19回研究部会連合発表会
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      2022 Research-status Report
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      Yasufumi Hashimoto
    • Organizer
      Zeta Functions in OKINAWA 2022
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      2022 Research-status Report
  • [Presentation] Simple matrix signature scheme の安全性について2022

    • Author(s)
      橋本康史
    • Organizer
      日本応用数理学会第18回研究部会連合発表会
    • Related Report
      2022 Research-status Report

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Published: 2022-04-19   Modified: 2024-12-25  

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