| Project/Area Number |
22K03239
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
池田 岳 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (40309539)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
岩尾 慎介 慶應義塾大学, 商学部(日吉), 准教授 (70634989)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2026: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
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| Keywords | 量子 K理論 / ピーターソン同型 / 相対論的戸田方程式 / アフィン・グラスマン多様体 / シューベルト・カルキュラス / 量子 K 理論 / アフィングラスマン多様体 |
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| Outline of Research at the Start |
A 型ルート系については， K 理論的ピーターソン同型が，ごく最近になって，明示的な形で確立された．アフィン側のシューベルト類を表す closed K-k-Schur functions の明示公式も示すことができた．この結果を利用して，シュバレー規則の帰結や，アフィン側のピエリ規則による量子側への帰結などを詳しく検討することができる．
C 型の場合， Seelinger によって， アフィングラスマン多様体の homology シューベルト類に対する明示公式が予想されている．この予想を，K 理論に拡張した形で解決し，そこから導き出されることを探求する．
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| Outline of Annual Research Achievements |
A 型について，相対論的戸田方程式の解空間の構造を用いて，旗多様体の量子K理論とアフィン・グラスマン多様体の K ホモロジー環の間の詳細な関係を調べた．Ikeda-Shimozono-Yamaguci では affine double K-k-Schur function を Demazure 作用をを用いて構成した．また，相対論的戸田方程式と関連して，双対群の付随する中心化族の座標環と K ホモロジー環との同型を与えた．Ikeda-Iwao-Naito-Yamaguchi では相対論的戸田方程式の解を用いて Kピーターソン同型を具体的に与え，affine double K-k-Shcur 関数に関する非自明な結果を導いた．特に，量子側の最長元に対応する k-irreducible element に対応する affine double K-k-Schur function がいくつかの積に分解することを導いた．
C 型の同変ホモロジーについて，双対群の中心化族を用いた構成，対称関数を用いた構成（affine P-hat functions）について論文 Ikeda-Iwao-Shimozono を執筆中で，間も無く完成する．また，この構成の K 理論を Ikeda-Yamaguchi-Shimozono の３名でまとめている．affine dual gp-function を構成した．C 型の K ホモロジーとの関係を用いて C 型の旗多様体の量子 K 理論に対する最長元のクラスがいくつかの積に分解することを証明した．Ikeda-Naito-Kouno によるこの結果はさらに進めて来年度に発表する．
A 型から C 型への folding によって，ラグランジアン・グラスマン多様体の K 理論，Kホモロジーを含む結果までを統一的に解釈する結果を得た．Ikeda-Shimozono の共著を準備中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
C 型の K ピータソン同型に関しては，内藤・河野によって量子側の理解が進んだという背景がある．そのため，相対論的戸田方程式の探究が可能になった．概要で述べたように，A型および C 型の研究は着実に進んでいる．したがって当初予定程度，あるいはそれよりもやや早く進んでいるといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
Ikeda-Kouno-Nakayama-Yamaguchi によるラグランジアン・グラスマン多様体の同変 K 理論に関する結果は，Mihalcea らによる Whittney 関係式についての予想に適用できると期待している．それに取り掛かることが一つ．C 型の量子 K 理論の研究は継続する．可積分系の構成が重要な課題である．量子群の中心を用いた量子戸田方程式のアプローチも用いる．また，B 型のアフィン側の理論を整備して，量子Kの構造の予想を立てることを目指す．
A型からの folding で C 型の理論を導く構想も完成させたい．
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