レゾナントパラメータを持つA-超幾何微分方程式系の代数的・組み合わせ論的研究

• Project/Area Number: 22K03241
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: Hokkaido University
• Principal Investigator: 齋藤 睦 北海道大学, 理学研究院, 教授 (70215565)
• Project Period (FY): 2022-04-01 – 2026-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000); Fiscal Year 2025: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000); Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2023: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000); Fiscal Year 2022: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
• Keywords: A-超幾何微分方程式系 / フロベニウスの方法 / A-超幾何系

Outline of Research at the Start

多項式の次に重要な関数として，超幾何関数というのがある。その一つの定義の仕方に微分方程式によるものがある。この超幾何微分方程式を多変数に拡張したものとして，A-超幾何系があり，その性質は組み合わせ的な言葉で記述できる筈であることは分かっている。
この研究では，実際に組み合わせ的な言葉で具体的に記述することと，一般的な解を微分することによりlogも含む解を構成するというフロベニウスの方法を用いてA-超幾何系の解空間を記述することを目的とする。

Outline of Annual Research Achievements

ゲルファント流のA-超幾何微分方程式系は，トーリックイデアルで定義されてあり，代数幾何学におけるトーリック多様体のように，種々の不変量が組み合わせ的言葉で記述できる。パラメータがジェネリックの場合は，ある程度記述できているが，パラメータがレゾナントのときは，容易ではない。
以前，A-超幾何微分方程式系の分類を考察したときに定義した組み合わせ的な概念（Aの生成する半群，Aの面，パラメータベクトルによる）で，A-超幾何微分方程式系の全ての不変量は記述できる筈で，それらの記述を行うことが本研究の目的である。とりわけ，ランクの簡便な記述を目的とする。
また，A-超幾何微分方程式系の解の具体的記述も目的である。特に，フロベニウスの方法を用いたlog解の構成を行い，基本解の構成を目指す。
以前log-free解を考察したおり，ウェイトwに付随した3角形分割に関するA-超幾何系の組み合わせ的な量を定義した。今回，log解も含めてこの量と関係づけることを狙っている。そのためには，トーリックイデアルのwに関するイニシャルイデアルのスタンダードペアを計算する必要がある。
これについて，2023年度においては，所謂C型について考察した。A-超幾何微分方程式系で最も基本的なのは青本-ゲルファント系（A型）であるが，C型は，その次に基本的と思われるものである。いまのところ，全く分割しない分割や2分割する場合，ユニモデュラーな3角形分割になる場合など，幾つかのwについて具体的にスタンダードペアを計算した。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

具体例の計算は或る程度できたが，一般論の考察まで手が回らなかった。

Strategy for Future Research Activity

まず，A型，C型について計算例を豊富にし，一般論を考察したい。