バーンサイド環の一般化とその乗法的性質の研究

• Project/Area Number: 22K03242
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: Muroran Institute of Technology
• Principal Investigator: 竹ケ原 裕元 室蘭工業大学, 大学院工学研究科, 教授 (10211351)
• Project Period (FY): 2022-04-01 – 2025-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2022)
• Budget Amount: ¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000); Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000); Fiscal Year 2023: ¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000); Fiscal Year 2022: ¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000)
• Keywords: バーンサイド環 / 束 / べき等元 / 単数群 / 有限群 / テンソル誘導写像

Outline of Research at the Start

有限群のモノイド関手に対して定まる一般化されたバーンサイド環の乗法的性質を研究する。包含関係がある2つの有限群に対して定まる一般化されたバーンサイド環の間のテンソル誘導写像の存在を、コホモロジー群、指標環、あるいは正規べき零部分群に関係する幾つかの特別な例において示す。また、一般化されたバーンサイド環である束バーンサイド環の単数群の構造、及びべき等元による可解群の特徴付けを、正規べき零部分群に関係する特別な例において明らかにする。さらに、有限群とそれが作用する集合に対して定まる束バーンサイド環の乗法的性質を、具体的な例で明らかにする。

Outline of Annual Research Achievements

有限群 G のバーンサイド環の一般化である、G-lattice L に対して、G の各部分群 H と L の H が自明に作用する空でない sublattice (部分束) L(H) の組の族がなす圏で定義されるグロタンディック環 LB(G) を lattice (束) バーンサイド環という。
LB(G) から定まる有理数係数の Q-代数 QLB(G) の原始的べき等元公式が知られている。QLB(G) の原始的べき等元は LB(G) の単数と密接に関係している。そこで LB(G) の単数群の性質を研究した。
LB(G) は抽象バーンサイド環であり、LB(G) を含むゴースト環 Gh(G) の単数が LB(G) の単数であるための必要十分条件が知られている。これを LB(G) の単数に関する規準という。それはバーンサイド環の単数に関する吉田の規準の一般化であり、バーンサイド環の単数群の研究が応用できた。具体的には以下の通りである。
まず、QLB(G) の原始的べき等元に対応する Gh(G) の単数が LB(G) の単数であるための必要十分条件を示し、その場合の LB(G) の単数の公式を得た。さらに、この結果に関連する、G と L に対して定まる element と呼ばれる対象の集合における、ある同値関係を定義し、LB(G) の単数に関する規準を用いて、LB(G) の単数群の直積分解を与えた。これは、バーンサイド環の単数群の性質の一般化である。この結果により、具体的な有限群 G に対する LB(G) の単数群を容易に決定できるようになった。４次対称群や５次対称群で、具体例を与えた。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

有限群 G の束バーンサイド環の単数群の研究を進めた。

Strategy for Future Research Activity

有限群 G の束バーンサイド環の単数群の研究をさらに進める。得られた単数群の直積分解を精査して、改善点を探り出す。具体的な群の例を参考にして、一般論を進める。