数論的対象のq類似の包括的研究

Research Project

Project/Area Number	22K03243
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 11010:Algebra-related
Research Institution	University of Tsukuba
Principal Investigator	竹山美宏筑波大学, 数理物質系, 教授 (60375392)
Project Period (FY)	2022-04-01 – 2026-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help	¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000) Fiscal Year 2025: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000) Fiscal Year 2024: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000) Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000) Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Keywords	多重ゼータ値 / q類似 / 多重L値 / 有限多重調和和
Outline of Research at the Start	q類似とは，良い性質をもつ1パラメータ変形であって，そのパラメータqを1に近づける極限において元の対象を復元するもののことをいう。本研究では数論的対象のq類似を扱う。通常，q類似の研究ではqの絶対値が1未満の範囲で考えるが，本研究では絶対値が1の場合(1のベキ根も含む)もあわせて考察する。具体的には，多重ゼータ値，多重L値，有限多重調和和およびフィボナッチ数列などのq類似を考える。
Outline of Annual Research Achievements	今年度は，多重ゼータ値の新たな１パラメータ変形について考察した。多重ゼータ値は，自然数の負ベキ乗の無限多重和として定義される実数値であり，線形関係式や代数的構造が詳しく調べられている。多重ゼータ値を定義する無限和において，分子を１のベキ根に置き換えたものを多重L値と呼ぶ。以前，加藤正輝氏との共同研究で，多重L値の新しい１パラメータ変形を定義した。これは，加藤氏が定義した多重ゼータ値の２パラメータ変形のスケール極限と見なされるもので，多重広義積分を使って定義される。この多重積分は正の実数の変形パラメータを１つもつが，それを０にする極限において多重L値に収束する。また，多重L値と同様に２種類の積構造をもち，これから二重シャッフル関係式と呼ばれる線形関係式が導かれる。上で述べたように，多重ゼータ値は多重L値の特別な場合と見なされるが，加藤氏との共同研究においては，解析的な困難を避けるために，多重ゼータ値に対応する場合は除外して考察した。今年度の研究では，この場合について詳しく調べ，解析的な問題点を解決することができた。特に，変形パラメータを０にする極限を厳密に解析することに成功し，この極限において多重ゼータ値に収束することを証明した。さらに，多重ゼータ値について成り立ついくつかの線形関係式の族が，我々の新しい１パラメータ変形についても成り立つことを証明した。これらの結果をまとめた論文を準備中である。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 多重ゼータ値の新しい1パラメータ変形を構成した。これは多重広義積分を使って定義されるが，その被積分関数の適切な評価などの解析が進展している。
Strategy for Future Research Activity	今年度の研究で構成した多重ゼータ値の新たな1パラメータ変形について，その性質を引き続き調べる。