Periods of integral for log smooth families

• Project/Area Number: 22K03247
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 臼井 三平 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (90117002)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 中山 能力 一橋大学, 大学院経済学研究科, 教授 (70272664)
• Project Period (FY): 2022-04-01 – 2027-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2022)
• Budget Amount: ¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000); Fiscal Year 2026: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000); Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000); Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000); Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000); Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
• Keywords: log実解析関数 / log C^{infty}関数 / log Poincare補題 / log積分 / 混合対象 / log純対象 / log geometry / log Hodge theory / log analytic function / log integral / log Deligne cohomology

Outline of Research at the Start

これまでに群作用付き混合Hodge構造の分類空間のいろいろな拡張のなす基本図式を構成した。その中核は冪零軌道の空間とSL(2)軌道の空間の関係の記述である。冪零軌道の空間をその比と偏角の空間まで持ち上げて、そこからSL(2)軌道の空間へ向けて連続写像を構成した。今回は関数環を整備して上の写像の実解析性まで示したい。またlogスムース多様体に対して微分積分を整備し、それに応じたHodge計量やKahler計量を考えたい。そうして出てくる幾何学的周期写像を周期領域のさまざまな拡張へ向けて拡張し、それらを基本図式の中で比較することにより、微分幾何や代数幾何や物理の諸問題を基本図式の中で捉えてみたい。

Outline of Annual Research Achievements

加藤和也、中山能力、臼井三平の混合ホッジ構造の退化に関する共同研究の課題は、実解析関数、C^{infty}関数の適切な拡張を調べそれらの関数環の上での幾何学へと移っていった。
先ず、log混合ホッジ構造の変形と偏極logホッジ構造の変形についての結果を精密化した論文 Mixed objects are embedded into log pure objects, https://arxiv.org/abs/2212.10970 を仕上げて2022年12月に投稿した。
ついでlog実解析関数やlog C^{infty}関数を定義しそれらの積分を調べlog Poincare 補題を証明した。ホッジ構造の退化についての理解を深めSL(2)軌道定理の幾何学的解釈を深めた論文 Classifying spaces of degenerating mixed Hodge structures, VI: Log real analytic functions and log C^{infy} functions, https://arxiv.org/abs/2304.11303 を仕上げて2023年4月に投稿した。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

加藤、中山、臼井の共同研究で２篇の論文　Classifying spaces of degenerating mixed Hodge structures, VI: Log real analytic functions and log C^{infy} functions、Mixed objects are embedded into log pure objects 論文を投稿した。

Strategy for Future Research Activity

加藤、中山、臼井の共同研究で Integration in log geometry の研究を始める。