| Project/Area Number |
22K03253
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
加塩 朋和 東京理科大学, 創域理工学部数理科学科, 教授 (10403106)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥3,770,000 (Direct Cost: ¥2,900,000、Indirect Cost: ¥870,000)
Fiscal Year 2026: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2025: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2024: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
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| Keywords | CM周期 / Stark予想 / p進周期環 / 円単数 / ガウス和 / 冪乗剰余記号 / 相互法則 / ポリログ関数 / 代数体の単数群 / 代数体の整数環 / 多重ガンマ関数 / ｐ進類似 / 代数的整数論 / 類体論 / ｐ進多重ガンマ関数 / 絶対フロベニウス作用 / ｐ進周期 / スターク予想 / 虚数乗法論 / 代数曲線 / 単数群 / 冪整基底 |
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| Outline of Research at the Start |
これまでに虚数乗法論、p進Hodge理論、そしてフェルマー曲線などの代数曲線を利用することで、Stark予想とそのp進類似を研究してきた。特にp進Hodge理論の同分野への応用が一つの特徴といえる。本研究においては同手法の完成を第一の目標とする。
一方でStark予想はHilbertの第12問題(類体構成)に対する解法を与えており、代数体の明示的な構成の研究であるとも言える。今後はこれまでに得られた知見や最新の研究成果も応用し、より繊細な整数環や単数群の明示的な構成にも取り組む。 これらはHasseの冪整基底問題やWeberの類数問題などの、数論における重要問題への応用を視野に入れた研究である。
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は、モチーフ論、虚数乗法論、ｐ進Ｈｏｄｇｅ理論などの最先端の道具を用いた議論と合わせて、代数体の整数環や単数群の構成などの明示的な研究も行い、数論に関係する諸問題へ取り組むことを目的としている。該当年度においては主に１．ｐ進周期環に値をとる特殊関数の虚数乗法論を用いた構成、２．Ｑ上の円分Ｚ２拡大における最小単数の性質、３．ベキ乗剰余記号の性質、に関する研究を行った。
１．に関しては、これまで長年研究を続けて得られた研究成果を２編の論文にまとめた。１編はＣＭ周期のｐ進類似と絶対フロベニウス作用に関する理論を作り、プレプリントにまとめたものである（現時点ではＪｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｔｈｅ Ｌｏｎｄｏｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙに出版済）。もう１編は上記の特別な場合であるＣｏｌｍａｎの公式の部分的な別証明に関するもので、こちらはＡｎｎａｌｅｓ ｄｅ ｌ＇Ｉｎｓｔｉｔｕｔ Ｆｏｕｒｉｅｒから出版された。
２．に関しては、Ｑ上の円分Ｚ２拡大の類数に関するＷｅｂｅｒ予想の研究に触発され、同代数体での単数群の性質を調べたものである。現在吉崎彪雅氏と共同研究中を進めており、研究成果を雑誌投稿準備中である。
３．に関しては、平川義之輔氏、関川隆太郎氏、高田直明氏、山本修司氏らと共同研究を行い、平方剰余の第二補充法則や、３乗剰余に関するＥｕｌｅｒ予想の一部を一般化することに成功した。現在は研究成果をプレプリントにまとめ公開しており、雑誌投稿中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の長期的な目標は、虚数乗法論やｐ進Ｈｏｄｇｅ理論を用いてＳｔａｒｋ予想とそのｐ進類似の解決への貢献することと、その研究上で得られた知見を数論の諸問題へ応用することである。以下、該当年度の進捗を３つに分けて紹介する。
１．ｐ進周期環値関数について。ＣＭ周期に関する吉田予想を仮定し、虚数乗法論やｐ進Ｈｏｄｇｅ理論など用いることで、ｐ進周期環に値をとるガンマ関数を構成し、その性質を予想として定式化した。とくに吉田予想とそのｐ進類似、Ｓｔａｒｋ予想とそのｐ進類似との関係を明らかにした。2編の論文を雑誌投稿し、１編は出版済み、もう１編は２０２５年度になって出版された。２つの研究集会でもこれらの研究成果を報告した。
２．最小相対単数について。Ｑ上の円分Ｚ２拡大の各層において最小相対単数の性質を調べ、明示的な予想式を定式化した。現在も他の拡大体への一般化を含め研究を進めており、雑誌投稿準備中である。本研究は吉崎彪雅氏との共同研究である。
３．ベキ乗剰余の補充法則について。古典的な平方剰余記号の一般化としてｑ乗剰余記号が定義され、ｑ＝３，５の場合などには多くの先行研究がある。今回、一般の奇素数ｑの場合の第二補充法則に関して部分的な公式を得ることができた。プレプリントとして発表し、現在雑誌投稿準備中である。本研究は平川義之輔氏、関川隆太郎氏、高田直明氏、山本修司氏との共同研究である。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究は、ＣＭ周期、Ｓｔａｒｋ予想、多重ガンマ関数、およびこれらのｐ進類似の間の関係を明らかにすることを第一目標としている。これらは、有理数体上のアーベル拡大の場合には古典的な２公式（Ｒｏｈｒｌｉｃｈの公式、Ｃｏｌｅｍａｎの公式）に帰着される。これまでの研究で、一般の総実代数体体上のＣＭアーベル拡大の場合の定式化と、Ｃｏｌｅｍａｎの公式の別証明に関する研究が順調に進んでいる。今後、前者に関しては非アーベルＣＭ体による虚数乗法を持つ代数曲線族の研究を通した数値検証や、他予想との関係の解明を目指していく。後者に関しては、同手法のＦ≠Ｑの場合への拡張を目指していく。
さらに、上記研究で得られた知見の、数論における諸問題への応用も目指していく。現時点ではＨａｓｓｅの冪整基底問題やＷｅｂｅｒの類数問題などへの応用を考えているが、研究対象に関しては柔軟に対応していきたい。前者には、Ｓｔａｒｋ単数を通じた射類体の生成元構成の応用が考えられる。後者には、Ｑ上のＺ２拡大の最小相対単数の研究の応用が考えられる。
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